Theorem funopfvb 3741

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership. Theorem 4.3(ii) of [Monk1] p. 42.

Hypothesis

Ref	Expression
funbrfvb.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funopfvb	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> <.A, B>. e. F))

Proof of Theorem funopfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfvb.1	. . 3 |- B e. V
2	1	funbrfvb 3740	. 2 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))
3		df-br 2610	. 2 |- (AFB <-> <.A, B>. e. F)
4	2, 3	syl6bb 534	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> <.A, B>. e. F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  <.cop 2401   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  Fun wfun 3166  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  dmfco 3758  fvco 3759  funfvop 3788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain