Theorem funopab 3548

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair.

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*yph)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2813	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab2 2814	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
3	1, 2	dffunmof 3530	. . 3 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> (Rel {<.x, y>. | ph} /\ A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y))
4		relopab 3266	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | ph}
5	3, 4	mpbiran 728	. 2 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y)
6		df-br 2620	. . . . 5 |- (x{<.x, y>. | ph}y <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | ph})
7		opabid 2810	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
8	6, 7	bitr 173	. . . 4 |- (x{<.x, y>. | ph}y <-> ph)
9	8	mobii 1405	. . 3 |- (E*y x{<.x, y>. | ph}y <-> E*yph)
10	9	albii 999	. 2 |- (A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y <-> A.xE*yph)
11	5, 10	bitr 173	1 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*yph)

Syntax hints:   <-> wb 146  A.wal 954   e. wcel 958  E*wmo 1381  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  funopabeq 3549  isarep2 3578  opabex 3609  opabex2g 3611  zfrep6 3614  fnopabg 3615  fvopab3ig 3778  tz7.44lem1 3927  funoprabg 4010  ajfuni 8520  funadj 9813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain