Theorem funin 3566

Description: The intersection with a function is a function. Exercise 14(a) of [Enderton] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
funin	|- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Proof of Theorem funin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin1 3262	. . 3 |- (Rel F -> Rel (F i^i G))
2		moan 1422	. . . . 5 |- (E*y xFy -> E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy))
3		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
4		elin 2207	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (F i^i G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
5		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (x(F i^i G)y <-> <.x, y>. e. (F i^i G))
6		df-br 2620	. . . . . . . . 9 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
7	6	anbi1i 481	. . . . . . . 8 |- ((xFy /\ <.x, y>. e. G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
8	4, 5, 7	3bitr4 183	. . . . . . 7 |- (x(F i^i G)y <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
9	3, 8	bitr4 176	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> x(F i^i G)y)
10	9	mobii 1405	. . . . 5 |- (E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> E*y x(F i^i G)y)
11	2, 10	sylib 198	. . . 4 |- (E*y xFy -> E*y x(F i^i G)y)
12	11	19.20i 992	. . 3 |- (A.xE*y xFy -> A.xE*y x(F i^i G)y)
13	1, 12	anim12i 333	. 2 |- ((Rel F /\ A.xE*y xFy) -> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
14		dffunmo 3531	. 2 |- (Fun F <-> (Rel F /\ A.xE*y xFy))
15		dffunmo 3531	. 2 |- (Fun (F i^i G) <-> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
16	13, 14, 15	3imtr4 219	1 |- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E*wmo 1381   i^i cin 2046  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain