Theorem funimaexg 3567

Description: Axiom of Replacement using abbreviations. Axiom 39(vi) of [Quine] p. 284. Compare Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 29.

Assertion

Ref	Expression
funimaexg	|- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Proof of Theorem funimaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq2 3394	. . . . 5 |- (w = B -> (A"w) = (A"B))
2	1	eleq1d 1537	. . . 4 |- (w = B -> ((A"w) e. V <-> (A"B) e. V))
3	2	imbi2d 611	. . 3 |- (w = B -> ((Fun A -> (A"w) e. V) <-> (Fun A -> (A"B) e. V)))
4		dffun5 3521	. . . . 5 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
5	4	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (Fun A -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))
6		ax-17 969	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> A.z<.x, y>. e. A)
7	6	axrep4 2692	. . . . 5 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
8		isset 1810	. . . . . 6 |- ((A"w) e. V <-> E.z z = (A"w))
9		dfima3 3398	. . . . . . . . 9 |- (A"w) = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)}
10	9	eqeq2i 1482	. . . . . . . 8 |- (z = (A"w) <-> z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)})
11		abeq2 1565	. . . . . . . 8 |- (z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)} <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . 7 |- (z = (A"w) <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
13	12	exbii 1049	. . . . . 6 |- (E.z z = (A"w) <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
14	8, 13	bitr 173	. . . . 5 |- ((A"w) e. V <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
15	7, 14	sylibr 200	. . . 4 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> (A"w) e. V)
16	5, 15	syl 10	. . 3 |- (Fun A -> (A"w) e. V)
17	3, 16	vtoclg 1843	. 2 |- (B e. C -> (Fun A -> (A"B) e. V))
18	17	impcom 351	1 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  Vcvv 1807  <.cop 2407  "cima 3168  Rel wrel 3170  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  funimaex 3568  resfunexg 3571  fnex 3599  carduniima 4870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187

Copyright terms: Public domain