Theorem funfvop 4587

Description: Ordered pair with function value. Part of Theorem 4.3(i) of [Monk1] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
funfvop	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> <.A, (F` A)>. e. F)

Proof of Theorem funfvop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 4500	. . 3 |- (F` A) e. _V
2	1	isseti 2130	. 2 |- E.x x = (F` A)
3		visset 2128	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	funopfvb 4526	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x <-> <.A, x>. e. F))
5		opeq2 2981	. . . . . . . 8 |- ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. = <.A, x>.)
6	5	eleq1d 1800	. . . . . . 7 |- ((F` A) = x -> (<.A, (F` A)>. e. F <-> <.A, x>. e. F))
7	6	biimprcd 172	. . . . . 6 |- (<.A, x>. e. F -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F))
8	4, 7	syl6bi 230	. . . . 5 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F)))
9	8	pm2.43d 79	. . . 4 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x -> <.A, (F` A)>. e. F))
10		eqcom 1723	. . . 4 |- (x = (F` A) <-> (F` A) = x)
11	9, 10	syl5ib 222	. . 3 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (x = (F` A) -> <.A, (F` A)>. e. F))
12	11	19.23adv 1422	. 2 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> (E.x x = (F` A) -> <.A, (F` A)>. e. F))
13	2, 12	mpi 55	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> <.A, (F` A)>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164  <.cop 2870  dom cdm 3797  Fun wfun 3803  ` cfv 3809

This theorem is referenced by:  fvimacnv 4589  fnopfv 4595  fvelrn 4596  dff3 4601  funfvima3 4641  fundmen 5298  adj1 11286  bnj143 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-rex 1944  df-v 2127  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-nul 2702  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-op 2877  df-uni 3000  df-br 3159  df-opab 3214  df-id 3401  df-xp 3811  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-fv 3825

Copyright terms: Public domain