Theorem funfvima2 3853

Description: A function's value in an included pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 3852	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
2	1	ex 373	. . . . 5 |- (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
3	2	com23 32	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (F` B) e. (F"A))))
4	3	a2d 13	. . 3 |- (Fun F -> ((B e. A -> B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
5		ssel 2063	. . 3 |- (A (_ dom F -> (B e. A -> B e. dom F))
6	4, 5	syl5 21	. 2 |- (Fun F -> (A (_ dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
7	6	imp 350	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958   (_ wss 2047  dom cdm 3170  "cima 3173  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  f1oweALT 3906  tz7.49 3959  php3 4515  php3OLD 4516  zorn2lem2 4789

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain