Theorem funfvima 3858

Description: A function's value in a pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima	|- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3740	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> ((F |` A)` B) = (F` B))
2	1	eleq1d 1543	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (((F |` A)` B) e. ran ( F |` A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A)))
3		df-ima 3197	. . . . . . . . . 10 |- (F"A) = ran ( F |` A)
4	3	eleq2i 1541	. . . . . . . . 9 |- ((F` B) e. (F"A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A))
5	2, 4	syl6rbbr 541	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> ((F` B) e. (F"A) <-> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A)))
6		fvelrn 3818	. . . . . . . . 9 |- ((Fun (F |` A) /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
7		funres 3557	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> Fun (F |` A))
8	6, 7	sylan 450	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
9	5, 8	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
10	9	ex 373	. . . . . 6 |- (Fun F -> (B e. dom ( F |` A) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
11		dmres 3386	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` A) = (A i^i dom F)
12	11	eleq2i 1541	. . . . . . 7 |- (B e. dom ( F |` A) <-> B e. (A i^i dom F))
13		elin 2210	. . . . . . 7 |- (B e. (A i^i dom F) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
14	12, 13	bitr 173	. . . . . 6 |- (B e. dom ( F |` A) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
15	10, 14	syl5ibr 207	. . . . 5 |- (Fun F -> ((B e. A /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
16	15	exp3a 376	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
17	16	com12 11	. . 3 |- (B e. A -> (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
18	17	imp3a 361	. 2 |- (B e. A -> ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
19	18	pm2.43b 67	1 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960   i^i cin 2049  dom cdm 3176  ran crn 3177   |` cres 3178  "cima 3179  Fun wfun 3182  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  funfvima2 3859  isomin 3905  isofrlem 3907  tz9.12lem3 4671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain