Theorem funfv2f 3757

Description: The value of a function. Version of funfv2 3756 using a bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypotheses

Ref	Expression
funfv2f.1	|- (z e. A -> A.y z e. A)
funfv2f.2	|- (z e. F -> A.y z e. F)

Assertion

Ref	Expression
funfv2f	|- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})

Distinct variable groups:   z,A   z,F   y,z

Proof of Theorem funfv2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfv2 3756	. 2 |- (Fun F -> (F` A) = U.{w | AFw})
2		funfv2f.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3		funfv2f.2	. . . . 5 |- (z e. F -> A.y z e. F)
4		ax-17 968	. . . . 5 |- (z e. w -> A.y z e. w)
5	2, 3, 4	hbbr 2648	. . . 4 |- (AFw -> A.y AFw)
6		ax-17 968	. . . 4 |- (AFy -> A.w AFy)
7		breq2 2613	. . . 4 |- (w = y -> (AFw <-> AFy))
8	5, 6, 7	cbvab 1899	. . 3 |- {w | AFw} = {y | AFy}
9	8	unieqi 2501	. 2 |- U.{w | AFw} = U.{y | AFy}
10	1, 9	syl6eq 1515	1 |- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  Fun wfun 3166  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  fvopab5 3778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain