Theorem funconstss 3808

Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain.

Assertion

Ref	Expression
funconstss	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> A (_ (`'F"{B})))

Distinct variable groups:   x,F   x,A   x,B

Proof of Theorem funconstss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 3763	. . 3 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ {B} <-> A.x e. A (F` x) e. {B}))
2		fvex 3732	. . . . 5 |- (F` x) e. V
3	2	elsnc 2431	. . . 4 |- ((F` x) e. {B} <-> (F` x) = B)
4	3	ralbii 1667	. . 3 |- (A.x e. A (F` x) e. {B} <-> A.x e. A (F` x) = B)
5	1, 4	syl6rbb 537	. 2 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> (F"A) (_ {B}))
6		funimass3 3806	. 2 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ {B} <-> A (_ (`'F"{B})))
7	5, 6	bitrd 528	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> A (_ (`'F"{B})))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  {csn 2409  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  "cima 3173  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fconst3 3850  ipasslem8 8497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain