Theorem fsum4 7025

Description: The sum of four terms.

Hypothesis

Ref	Expression
fsum2.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
fsum4	|- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 3))A = ((([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A) + [_(M + 3) / k]_A))

Proof of Theorem fsum4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzidt 6428	. . 3 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>` M))
2		2nn0 6117	. . . 4 |- 2 e. NN0
3		uzaddclt 6450	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>` M) /\ 2 e. NN0) -> (M + 2) e. (ZZ>` M))
4	2, 3	mpan2 698	. . 3 |- (M e. (ZZ>` M) -> (M + 2) e. (ZZ>` M))
5		fsum2.1	. . . 4 |- A e. V
6	5	fsump1slem 7012	. . 3 |- ((M + 2) e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...((M + 2) + 1))A = (sum_k e. (M...(M + 2))A + [_((M + 2) + 1) / k]_A))
7	1, 4, 6	3syl 20	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...((M + 2) + 1))A = (sum_k e. (M...(M + 2))A + [_((M + 2) + 1) / k]_A))
8		zcnt 6142	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
9		2cn 5982	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
10		ax1cn 5281	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
11		axaddass 5289	. . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((M + 2) + 1) = (M + (2 + 1)))
12	9, 10, 11	mp3an23 910	. . . . . 6 |- (M e. CC -> ((M + 2) + 1) = (M + (2 + 1)))
13	8, 12	syl 10	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> ((M + 2) + 1) = (M + (2 + 1)))
14		df-3 5973	. . . . . 6 |- 3 = (2 + 1)
15	14	opreq2i 3978	. . . . 5 |- (M + 3) = (M + (2 + 1))
16	13, 15	syl6eqr 1528	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((M + 2) + 1) = (M + 3))
17	16	opreq2d 3982	. . 3 |- (M e. ZZ -> (M...((M + 2) + 1)) = (M...(M + 3)))
18	17	sumeq1d 6990	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...((M + 2) + 1))A = sum_k e. (M...(M + 3))A)
19	5	fsum3 7024	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 2))A = (([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A))
20	16	csbeq1d 2007	. . 3 |- (M e. ZZ -> [_((M + 2) + 1) / k]_A = [_(M + 3) / k]_A)
21	19, 20	opreq12d 3984	. 2 |- (M e. ZZ -> (sum_k e. (M...(M + 2))A + [_((M + 2) + 1) / k]_A) = ((([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A) + [_(M + 3) / k]_A))
22	7, 18, 21	3eqtr3d 1518	1 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...(M + 3))A = ((([_M / k]_A + [_(M + 1) / k]_A) + [_(M + 2) / k]_A) + [_(M + 3) / k]_A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  [_csb 2004  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249  NN0cn0 5309  ZZcz 5310  2c2 5963  3c3 5964  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  ipval2 8353

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain