Theorem fsum1 7005

Description: The finite sum of A(k) from k = M to M (i.e. a sum with only one term) is B i.e. A(M).

Hypothesis

Ref	Expression
fsum1.1	|- (k = M -> A = B)

Assertion

Ref	Expression
fsum1	|- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = B)

Distinct variable groups:   B,k   k,M

Proof of Theorem fsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1817	. . . 4 |- (B e. C -> B e. V)
2		fsum1.1	. . . . . . . 8 |- (k = M -> A = B)
3	2	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (k = M -> (A e. V <-> B e. V))
4	3	biimprcd 156	. . . . . 6 |- (B e. V -> (k = M -> A e. V))
5		elfz1eqt 6492	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> k = M)
6	4, 5	syl5 21	. . . . 5 |- (B e. V -> (k e. (M...M) -> A e. V))
7	6	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- (B e. V -> A.k e. (M...M)A e. V)
8		elfzelz 6482	. . . . . . 7 |- (k e. (M...M) -> k e. ZZ)
9		fvopab2 3791	. . . . . . . 8 |- ((k e. ZZ /\ A e. V) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
10	9	ex 373	. . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> (A e. V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
11	8, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (M...M) -> (A e. V -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A))
12	11	r19.20i 1704	. . . . 5 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> A.k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = A)
13	12	sumeq2d 6991	. . . 4 |- (A.k e. (M...M)A e. V -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = sum_k e. (M...M)A)
14	1, 7, 13	3syl 20	. . 3 |- (B e. C -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = sum_k e. (M...M)A)
15		uzidt 6427	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>` M))
16		zex 6144	. . . . . 6 |- ZZ e. V
17	16	opabex2 3610	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} e. V
18		hbopab1 2813	. . . . 5 |- (x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} -> A.k x e. {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})
19	17, 18	fsumserzf 7000	. . . 4 |- (M e. (ZZ>` M) -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
20	15, 19	syl 10	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (M...M)({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` k) = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
21	14, 20	sylan9req 1528	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M))
22		addex 5317	. . . 4 |- + e. V
23	22, 17	seqz1 6547	. . 3 |- (M e. ZZ -> ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
24	23	adantl 388	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ((<.M, + >. seq {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)})` M) = ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M))
25		eqid 1475	. . . 4 |- {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)} = {<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}
26	2, 25	fvopab4g 3779	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ B e. C) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
27	26	ancoms 436	. 2 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> ({<.k, y>. | (k e. ZZ /\ y = A)}` M) = B)
28	21, 24, 27	3eqtrd 1511	1 |- ((B e. C /\ M e. ZZ) -> sum_k e. (M...M)A = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  <.cop 2411  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963   + caddc 5237  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467   seq cseqz 6531  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  fsum1f 7007  fsumconst 7038  binomlem6 7071  binom 7072  bcxmas 7076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain