Theorem frsucopab 3954

Description: The successor value resulting from finite recursive definition generation (special case where the generation function is an ordered pair abstraction).

Hypotheses

Ref	Expression
frsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
frsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
frsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
frsucopab.4	|- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
frsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
frsucopab	|- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem frsucopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuct 3953	. . 3 |- (B e. om -> ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
2		frsucopab.4	. . . 4 |- F = (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)
3	2	fveq1i 3725	. . 3 |- (F` suc B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1519	. 2 |- (B e. om -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)))
5		fvex 3732	. . 3 |- ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. V
6		hbopab1 2813	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
7		frsucopab.1	. . . . . . 7 |- (z e. A -> A.x z e. A)
8	6, 7	hbrdg 3936	. . . . . 6 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
9		ax-17 971	. . . . . 6 |- (z e. om -> A.x z e. om)
10	8, 9	hbres 3370	. . . . 5 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om))
11		frsucopab.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
12	10, 11	hbfv 3729	. . . 4 |- (z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> A.x z e. ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
13		frsucopab.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
14	2	fveq1i 3725	. . . . . 6 |- (F` B) = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)
15	14	eqeq2i 1485	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B))
16		frsucopab.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
17	15, 16	sylbir 201	. . . 4 |- (x = ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) -> C = D)
18	12, 13, 17	fvopabgf 3787	. . 3 |- ((((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B) e. V /\ D e. R) -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
19	5, 18	mpan 695	. 2 |- (D e. R -> ({<.x, y>. | y = C}` ((rec({<.x, y>. | y = C}, A) |` om)` B)) = D)
20	4, 19	sylan9eq 1527	1 |- ((B e. om /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {copab 2666  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  unblem2 4541  unblem3 4542  inf0 4606  trcl 4645  alephfplem2 4897  om2uzsuc 6296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain