Theorem fri 2918

Description: Property of founded relation (one direction of definition).

Assertion

Ref	Expression
fri	|- (((B e. C /\ R Fr A) /\ (B (_ A /\ B =/= (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)

Distinct variable groups:   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem fri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2082	. . . . . 6 |- (z = B -> (z (_ A <-> B (_ A))
2		neeq1 1590	. . . . . 6 |- (z = B -> (z =/= (/) <-> B =/= (/)))
3	1, 2	anbi12d 628	. . . . 5 |- (z = B -> ((z (_ A /\ z =/= (/)) <-> (B (_ A /\ B =/= (/))))
4		raleq1 1786	. . . . . 6 |- (z = B -> (A.y e. z -. yRx <-> A.y e. B -. yRx))
5	4	rexeqd 1792	. . . . 5 |- (z = B -> (E.x e. z A.y e. z -. yRx <-> E.x e. B A.y e. B -. yRx))
6	3, 5	imbi12d 626	. . . 4 |- (z = B -> (((z (_ A /\ z =/= (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx) <-> ((B (_ A /\ B =/= (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)))
7	6	cla4gv 1862	. . 3 |- (B e. C -> (A.z((z (_ A /\ z =/= (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx) -> ((B (_ A /\ B =/= (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)))
8		df-fr 2917	. . 3 |- (R Fr A <-> A.z((z (_ A /\ z =/= (/)) -> E.x e. z A.y e. z -. yRx))
9	7, 8	syl5ib 206	. 2 |- (B e. C -> (R Fr A -> ((B (_ A /\ B =/= (/)) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)))
10	9	imp31 362	1 |- (((B e. C /\ R Fr A) /\ (B (_ A /\ B =/= (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619   Fr wfr 2915

This theorem is referenced by:  wereu 2945  noinfep 4640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-fr 2917

Copyright terms: Public domain