Theorem foprrn 4041

Description: A operations's value belongs to its codomain.

Assertion

Ref	Expression
foprrn	|- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Proof of Theorem foprrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. . . 4 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (F` <.A, B>.) e. C)
2		df-opr 3971	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
3	1, 2	syl5eqel 1555	. . 3 |- ((F:(R X. S)-->C /\ <.A, B>. e. (R X. S)) -> (AFB) e. C)
4		opelxpi 3223	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> <.A, B>. e. (R X. S))
5	3, 4	sylan2 453	. 2 |- ((F:(R X. S)-->C /\ (A e. R /\ B e. S)) -> (AFB) e. C)
6	5	3impb 831	1 |- ((F:(R X. S)-->C /\ A e. R /\ B e. S) -> (AFB) e. C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  <.cop 2415   X. cxp 3174  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969

This theorem is referenced by:  curry1f 4105  acdc2lem1 7489  acdc5lem1 7492  mscl 7802  metcl 7808  grpcl 8041  grpdivcl 8082  ringcl 8140  vccl 8165  nvmcl 8263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971

Copyright terms: Public domain