Theorem fnoprab2 4122

Description: Functionality and domain of an operation class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fnoprab2.1	|- C e. V
fnoprab2.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}

Assertion

Ref	Expression
fnoprab2	|- F Fn (A X. B)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C

Proof of Theorem fnoprab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnoprab2.1	. . . 4 |- C e. V
2	1	a1i 8	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> C e. V)
3	2	rgen2 1723	. 2 |- A.x e. A A.y e. B C e. V
4		fnoprab2.2	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}
5	4	fnoprab2g 4121	. 2 |- (A.x e. A A.y e. B C e. V <-> F Fn (A X. B))
6	3, 5	mpbi 189	1 |- F Fn (A X. B)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811   X. cxp 3168   Fn wfn 3177  {copab2 3964

This theorem is referenced by:  dmoprab2 4123  df1st2 4126  df2nd2 4127  fnoa 4148  fnom 4149  fnmap 4329  mapxpen 4495  unxpdomlem 4843  dfseq0 6563  acdc3lem 7486  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492  acdclem 7494  qnnen 7503  metxp 7834  hhip 9044

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080

Copyright terms: Public domain