Theorem flval3t 6182

Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument.

Assertion

Ref	Expression
flval3t	|- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem flval3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprub 6003	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A}) -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
2		ssrab2 2121	. . . . . . 7 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ ZZ
3		zssre 6089	. . . . . . 7 |- ZZ (_ RR
4	2, 3	sstri 2063	. . . . . 6 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR
5	4	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR)
6		flclt 6174	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
7		fllet 6176	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ A)
8	6, 7	jca 288	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
9		breq1 2612	. . . . . . . 8 |- (x = (|_` A) -> (x <_ A <-> (|_` A) <_ A))
10	9	elrab 1896	. . . . . . 7 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
11	8, 10	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A})
12		ne0i 2276	. . . . . 6 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
13	11, 12	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
14		breq2 2613	. . . . . . . 8 |- (y = (|_` A) -> (z <_ y <-> z <_ (|_` A)))
15	14	ralbidv 1655	. . . . . . 7 |- (y = (|_` A) -> (A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y <-> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)))
16	15	rcla4ev 1868	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. RR /\ A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)) -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
17		zret 6086	. . . . . . 7 |- ((|_` A) e. ZZ -> (|_` A) e. RR)
18	6, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
19		flget 6178	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A <-> z <_ (|_` A)))
20	19	biimpd 153	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A -> z <_ (|_` A)))
21	20	ex 373	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (z e. ZZ -> (z <_ A -> z <_ (|_` A))))
22	21	imp3a 361	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> ((z e. ZZ /\ z <_ A) -> z <_ (|_` A)))
23		breq1 2612	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x <_ A <-> z <_ A))
24	23	elrab 1896	. . . . . . . 8 |- (z e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (z e. ZZ /\ z <_ A))
25	22, 24	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (z e. {x e. ZZ | x <_ A} -> z <_ (|_` A)))
26	25	r19.21aiv 1705	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A))
27	16, 18, 26	sylanc 471	. . . . 5 |- (A e. RR -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
28	5, 13, 27	3jca 817	. . . 4 |- (A e. RR -> ({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y))
29	1, 28, 11	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
30		suprnub 6005	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)) -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
31		flget 6178	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> w <_ (|_` A)))
32		lenltt 5482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. RR /\ (|_` A) e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
33		zret 6086	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. ZZ -> w e. RR)
34	32, 33, 18	syl2an 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. ZZ /\ A e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
35	34	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
36	31, 35	bitrd 526	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> -. (|_` A) < w))
37	36	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A -> -. (|_` A) < w))
38	37	ex 373	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (w e. ZZ -> (w <_ A -> -. (|_` A) < w)))
39	38	imp3a 361	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((w e. ZZ /\ w <_ A) -> -. (|_` A) < w))
40		breq1 2612	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ A <-> w <_ A))
41	40	elrab 1896	. . . . . . 7 |- (w e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (w e. ZZ /\ w <_ A))
42	39, 41	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (w e. {x e. ZZ | x <_ A} -> -. (|_` A) < w))
43	42	r19.21aiv 1705	. . . . 5 |- (A e. RR -> A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)
44	18, 43	jca 288	. . . 4 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w))
45	30, 28, 44	sylanc 471	. . 3 |- (A e. RR -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
46	29, 45	jca 288	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < )))
47		eqleltt 5492	. . 3 |- (((|_` A) e. RR /\ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR) -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
48		suprcl 6002	. . . 4 |- (({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
49	48, 5, 13, 27	syl3anc 856	. . 3 |- (A e. RR -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
50	47, 18, 49	sylanc 471	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
51	46, 50	mpbird 196	1 |- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  supcsup 4547  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  |_cfl 6171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172

Copyright terms: Public domain