Theorem flhalft 6189

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer.

Assertion

Ref	Expression
flhalft	|- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeot 6146	. 2 |- (N e. ZZ -> ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ))
2		flidt 6180	. . . . . 6 |- ((N / 2) e. ZZ -> (|_` (N / 2)) = (N / 2))
3	2	opreq2d 3961	. . . . 5 |- ((N / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) = (2 x. (N / 2)))
4		zcnt 6087	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
5		2cn 5927	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
6		2ne0 5937	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
7		divcan2t 5690	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ N e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. (N / 2)) = N)
8	5, 6, 7	mp3an13 904	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (2 x. (N / 2)) = N)
9	4, 8	syl 10	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (N / 2)) = N)
10	3, 9	sylan9eqr 1521	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) = N)
11		lemul2itOLD 5796	. . . . . 6 |- ((((|_` (N / 2)) e. RR /\ (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
12		zret 6086	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
13		rehalfclt 5981	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (N / 2) e. RR)
14	12, 13	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> (N / 2) e. RR)
15		flclt 6174	. . . . . . . 8 |- ((N / 2) e. RR -> (|_` (N / 2)) e. ZZ)
16		zret 6086	. . . . . . . 8 |- ((|_` (N / 2)) e. ZZ -> (|_` (N / 2)) e. RR)
17	14, 15, 16	3syl 20	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) e. RR)
18		peano2re 5408	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
19		rehalfclt 5981	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) e. RR -> ((N + 1) / 2) e. RR)
20	12, 18, 19	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. RR)
21		flclt 6174	. . . . . . . 8 |- (((N + 1) / 2) e. RR -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ)
22		zret 6086	. . . . . . . 8 |- ((|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
24		2re 5926	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 8	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> 2 e. RR)
26	17, 23, 25	3jca 817	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> ((|_` (N / 2)) e. RR /\ (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR /\ 2 e. RR))
27		flwordit 6183	. . . . . . . 8 |- (((N / 2) e. RR /\ ((N + 1) / 2) e. RR /\ (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)) -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
28		lep1t 5768	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N <_ (N + 1))
29	28	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> N <_ (N + 1))
30		2pos 5936	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
31		lediv1t 5806	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
32	30, 31	mpan2 694	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
33	24, 32	mp3an3 902	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
34	29, 33	mpbid 195	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
35	12, 18	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (N + 1) e. RR)
36	34, 12, 35	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
37	27, 14, 20, 36	syl3anc 856	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
38		0re 5412	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
39	38, 24, 30	ltlei 5554	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
40	37, 39	jctil 292	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2))))
41	11, 26, 40	sylanc 471	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
42	41	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
43	10, 42	eqbrtrrd 2627	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
44	12, 28	syl 10	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N <_ (N + 1))
45	44	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (N + 1))
46		flidt 6180	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) = ((N + 1) / 2))
47	46	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (2 x. ((N + 1) / 2)))
48		peano2cn 5316	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
49		divcan2t 5690	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (N + 1) e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
50	5, 6, 49	mp3an13 904	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. CC -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
51	4, 48, 50	3syl 20	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
52	47, 51	sylan9eqr 1521	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (N + 1))
53	45, 52	breqtrrd 2631	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
54	43, 53	jaodan 426	. 2 |- ((N e. ZZ /\ ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ)) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
55	1, 54	mpdan 702	1 |- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  2c2 5908  |_cfl 6171

This theorem is referenced by:  efaddlem12 7291  efaddlem20 7299  efaddlem22 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172

Copyright terms: Public domain