Theorem flget 6178

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument.

Assertion

Ref	Expression
flget	|- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (B <_ A <-> B <_ (|_` A)))

Proof of Theorem flget

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1t 6177	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A < ((|_` A) + 1))
2	1	adantl 388	. . . . 5 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> A < ((|_` A) + 1))
3		lelttrt 5496	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR) -> ((B <_ A /\ A < ((|_` A) + 1)) -> B < ((|_` A) + 1)))
4	3	3expb 832	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ (A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR)) -> ((B <_ A /\ A < ((|_` A) + 1)) -> B < ((|_` A) + 1)))
5		zret 6086	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> B e. RR)
6		flclt 6174	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
7		zret 6086	. . . . . . . 8 |- ((|_` A) e. ZZ -> (|_` A) e. RR)
8		peano2re 5408	. . . . . . . 8 |- ((|_` A) e. RR -> ((|_` A) + 1) e. RR)
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((|_` A) + 1) e. RR)
10	9	ancli 296	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR))
11	4, 5, 10	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> ((B <_ A /\ A < ((|_` A) + 1)) -> B < ((|_` A) + 1)))
12	2, 11	mpan2d 700	. . . 4 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (B <_ A -> B < ((|_` A) + 1)))
13		zleltp1t 6129	. . . . 5 |- ((B e. ZZ /\ (|_` A) e. ZZ) -> (B <_ (|_` A) <-> B < ((|_` A) + 1)))
14	13, 6	sylan2 451	. . . 4 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (B <_ (|_` A) <-> B < ((|_` A) + 1)))
15	12, 14	sylibrd 204	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (B <_ A -> B <_ (|_` A)))
16		fllet 6176	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ A)
17	16	adantl 388	. . . 4 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (|_` A) <_ A)
18		letrt 5498	. . . . . 6 |- ((B e. RR /\ (|_` A) e. RR /\ A e. RR) -> ((B <_ (|_` A) /\ (|_` A) <_ A) -> B <_ A))
19	18	3expb 832	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ ((|_` A) e. RR /\ A e. RR)) -> ((B <_ (|_` A) /\ (|_` A) <_ A) -> B <_ A))
20	6, 7	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
21	20	ancri 297	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. RR /\ A e. RR))
22	19, 5, 21	syl2an 454	. . . 4 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> ((B <_ (|_` A) /\ (|_` A) <_ A) -> B <_ A))
23	17, 22	mpan2d 700	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (B <_ (|_` A) -> B <_ A))
24	15, 23	impbid 514	. 2 |- ((B e. ZZ /\ A e. RR) -> (B <_ A <-> B <_ (|_` A)))
25	24	ancoms 436	1 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (B <_ A <-> B <_ (|_` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  |_cfl 6171

This theorem is referenced by:  flltt 6179  flidt 6180  flval2t 6181  flval3t 6182  flwordit 6183  flge0nn0t 6185  flge1nnt 6186  btwnzge0t 6188  efcltlem1 7246  efaddlem10 7289  efaddlem12 7291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172

Copyright terms: Public domain