Theorem fladdzt 6195

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum.

Assertion

Ref	Expression
fladdzt	|- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (|_` (A + B)) = ((|_` A) + B))

Proof of Theorem fladdzt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllet 6184	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ A)
2	1	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (|_` A) <_ A)
3		leadd1t 5607	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR) -> ((|_` A) <_ A <-> ((|_` A) + B) <_ (A + B)))
4	3	3expa 832	. . . . 5 |- ((((|_` A) e. RR /\ A e. RR) /\ B e. RR) -> ((|_` A) <_ A <-> ((|_` A) + B) <_ (A + B)))
5		flclt 6182	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
6		zret 6094	. . . . . . 7 |- ((|_` A) e. ZZ -> (|_` A) e. RR)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
8	7	ancri 297	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. RR /\ A e. RR))
9		zret 6094	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> B e. RR)
10	4, 8, 9	syl2an 454	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> ((|_` A) <_ A <-> ((|_` A) + B) <_ (A + B)))
11	2, 10	mpbid 195	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> ((|_` A) + B) <_ (A + B))
12		flltp1t 6185	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A < ((|_` A) + 1))
13	12	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> A < ((|_` A) + 1))
14		ltadd1t 5605	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR /\ B e. RR) -> (A < ((|_` A) + 1) <-> (A + B) < (((|_` A) + 1) + B)))
15	14	3expa 832	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR) /\ B e. RR) -> (A < ((|_` A) + 1) <-> (A + B) < (((|_` A) + 1) + B)))
16		peano2z 6121	. . . . . . . 8 |- ((|_` A) e. ZZ -> ((|_` A) + 1) e. ZZ)
17		zret 6094	. . . . . . . 8 |- (((|_` A) + 1) e. ZZ -> ((|_` A) + 1) e. RR)
18	5, 16, 17	3syl 20	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((|_` A) + 1) e. RR)
19	18	ancli 296	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (A e. RR /\ ((|_` A) + 1) e. RR))
20	15, 19, 9	syl2an 454	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (A < ((|_` A) + 1) <-> (A + B) < (((|_` A) + 1) + B)))
21	13, 20	mpbid 195	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (A + B) < (((|_` A) + 1) + B))
22		ax1cn 5249	. . . . . 6 |- 1 e. CC
23		add23t 5317	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. CC /\ 1 e. CC /\ B e. CC) -> (((|_` A) + 1) + B) = (((|_` A) + B) + 1))
24	22, 23	mp3an2 902	. . . . 5 |- (((|_` A) e. CC /\ B e. CC) -> (((|_` A) + 1) + B) = (((|_` A) + B) + 1))
25		zcnt 6095	. . . . . 6 |- ((|_` A) e. ZZ -> (|_` A) e. CC)
26	5, 25	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` A) e. CC)
27		zcnt 6095	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
28	24, 26, 27	syl2an 454	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (((|_` A) + 1) + B) = (((|_` A) + B) + 1))
29	21, 28	breqtrd 2634	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (A + B) < (((|_` A) + B) + 1))
30	11, 29	jca 288	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (((|_` A) + B) <_ (A + B) /\ (A + B) < (((|_` A) + B) + 1)))
31		flbit 6192	. . 3 |- (((A + B) e. RR /\ ((|_` A) + B) e. ZZ) -> ((|_` (A + B)) = ((|_` A) + B) <-> (((|_` A) + B) <_ (A + B) /\ (A + B) < (((|_` A) + B) + 1))))
32		axaddrcl 5252	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
33	32, 9	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (A + B) e. RR)
34		zaddclt 6120	. . . 4 |- (((|_` A) e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((|_` A) + B) e. ZZ)
35	34, 5	sylan 448	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> ((|_` A) + B) e. ZZ)
36	31, 33, 35	sylanc 471	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> ((|_` (A + B)) = ((|_` A) + B) <-> (((|_` A) + B) <_ (A + B) /\ (A + B) < (((|_` A) + B) + 1))))
37	30, 36	mpbird 196	1 |- ((A e. RR /\ B e. ZZ) -> (|_` (A + B)) = ((|_` A) + B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466  |_cfl 6179

This theorem is referenced by:  efaddlem10 7297  lmnn 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180

Copyright terms: Public domain