Theorem findabrcl 10418

Description: Please add description here.

Hypothesis

Ref	Expression
findabrcl.1	|- (z e. P -> (G` z) e. P)

Assertion

Ref	Expression
findabrcl	|- ((C e. om /\ A e. P) -> ({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) e. P)

Distinct variable groups:   x,G,y   x,A,y   x,C,y   y,P   z,G   z,A   z,P

Proof of Theorem findabrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findabrcl.1	. . . 4 |- (z e. P -> (G` z) e. P)
2	1	findreccl 10417	. . 3 |- (C e. om -> (A e. P -> (rec(G, A)` C) e. P))
3	2	imp 350	. 2 |- ((C e. om /\ A e. P) -> (rec(G, A)` C) e. P)
4		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (x = C -> (rec(G, A)` x) = (rec(G, A)` C))
5	4	fvopabg 3785	. . . . 5 |- ((C e. om /\ (rec(G, A)` C) e. P) -> ({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) = (rec(G, A)` C))
6	5	eleq1d 1540	. . . 4 |- ((C e. om /\ (rec(G, A)` C) e. P) -> (({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) e. P <-> (rec(G, A)` C) e. P))
7	6	biimparc 419	. . 3 |- (((rec(G, A)` C) e. P /\ (C e. om /\ (rec(G, A)` C) e. P)) -> ({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) e. P)
8	7	anabss7 503	. 2 |- ((C e. om /\ (rec(G, A)` C) e. P) -> ({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) e. P)
9	3, 8	syldan 467	1 |- ((C e. om /\ A e. P) -> ({<.x, y>. | y = (rec(G, A)` x)}` C) e. P)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  omcom 3131  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain