Theorem ffnoprval 4014

Description: An operation maps to a class to which all values belong.

Assertion

Ref	Expression
ffnoprval	|- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   x,F,y

Proof of Theorem ffnoprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 3828	. 2 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C))
2		fveq2 3724	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 3965	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1525	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eleq1d 1540	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> ((F` w) e. C <-> (xFy) e. C))
6	5	ralxp 3218	. . 3 |- (A.w e. (A X. B)(F` w) e. C <-> A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C)
7	6	anbi2i 480	. 2 |- ((F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C) <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))
8	1, 7	bitr 173	1 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  <.cop 2411   X. cxp 3168   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  foprcl 4015  foprval 4018  mapxpen 4495  axaddopr 5265  axmulopr 5266  mulnzcnopr 5702  seq1rn2 6321  seqzrn2 6556  acdc3lem 7486  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492  acdclem 7494  metxp 7834  issubgi 8122  ghgrpilem4 8136  ringsn 8163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain