Theorem feu 3653

Description: There is exactly one value of a function in its codomain.

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   y,C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneu2 3599	. . . 4 |- ((F Fn A /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
2		ffn 3633	. . . 4 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3	1, 2	sylan 450	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
4		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
5	4	opelf 3646	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> (C e. A /\ y e. B))
6	5	pm3.27d 325	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> y e. B)
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F -> y e. B))
8	7	pm4.71rd 641	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F <-> (y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
9	8	eubidv 1388	. . . 4 |- (F:A-->B -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
10	9	adantr 391	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
11	3, 10	mpbid 195	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
12		df-reu 1654	. 2 |- (E!y e. B <.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
13	11, 12	sylibr 200	1 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  E!weu 1382  E!wreu 1650  <.cop 2415   Fn wfn 3183  -->wf 3184

This theorem is referenced by:  fsn 3840  f1ofveu 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-reu 1654  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200

Copyright terms: Public domain