Theorem facp1t 6936

Description: The factorial of a successor.

Assertion

Ref	Expression
facp1t	|- (N e. NN0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))

Proof of Theorem facp1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 6103	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
2		peano2nn 5937	. . . . 5 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
3		facnnt 6933	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN -> (!` (N + 1)) = (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)))
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> (!` (N + 1)) = (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)))
5		mulex 5330	. . . . 5 |- x. e. V
6		funi 3551	. . . . . 6 |- Fun I
7		nnex 5935	. . . . . 6 |- NN e. V
8		resfunexg 3585	. . . . . 6 |- ((Fun I /\ NN e. V) -> (I |` NN) e. V)
9	6, 7, 8	mp2an 699	. . . . 5 |- (I |` NN) e. V
10	5, 9	seq1p1 6319	. . . 4 |- (N e. NN -> (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))))
11		fvres 3740	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (I` (N + 1)))
12	2, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (I` (N + 1)))
13		oprex 3989	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. V
14		fvi 3848	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. V -> (I` (N + 1)) = (N + 1))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (I` (N + 1)) = (N + 1)
16	12, 15	syl6eq 1526	. . . . . 6 |- (N e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (N + 1))
17	16	opreq2d 3982	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. (N + 1)))
18		facnnt 6933	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (!` N) = (( x. seq1 (I |` NN))` N))
19	18	opreq1d 3981	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((!` N) x. (N + 1)) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. (N + 1)))
20	17, 19	eqtr4d 1513	. . . 4 |- (N e. NN -> ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))) = ((!` N) x. (N + 1)))
21	4, 10, 20	3eqtrd 1514	. . 3 |- (N e. NN -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
22		ax1cn 5281	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
23	22	addid2 5343	. . . . . 6 |- (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 3733	. . . . 5 |- (!` (0 + 1)) = (!` 1)
25		fac1 6935	. . . . 5 |- (!` 1) = 1
26	24, 25	eqtr 1498	. . . 4 |- (!` (0 + 1)) = 1
27		opreq1 3974	. . . . 5 |- (N = 0 -> (N + 1) = (0 + 1))
28	27	fveq2d 3734	. . . 4 |- (N = 0 -> (!` (N + 1)) = (!` (0 + 1)))
29		fveq2 3730	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (!` N) = (!` 0))
30	29, 27	opreq12d 3984	. . . . 5 |- (N = 0 -> ((!` N) x. (N + 1)) = ((!` 0) x. (0 + 1)))
31		fac0 6934	. . . . . . 7 |- (!` 0) = 1
32	31, 23	opreq12i 3979	. . . . . 6 |- ((!` 0) x. (0 + 1)) = (1 x. 1)
33	22	mulid1 5344	. . . . . 6 |- (1 x. 1) = 1
34	32, 33	eqtr 1498	. . . . 5 |- ((!` 0) x. (0 + 1)) = 1
35	30, 34	syl6eq 1526	. . . 4 |- (N = 0 -> ((!` N) x. (N + 1)) = 1)
36	26, 28, 35	3eqtr4a 1535	. . 3 |- (N = 0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
37	21, 36	jaoi 341	. 2 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
38	1, 37	sylbi 199	1 |- (N e. NN0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  Icid 2837   |` cres 3178  Fun wfun 3182  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  NNcn 5308  NN0cn0 5309   seq1 cseq1 6308  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  fac2 6937  fac3 6938  facnn2t 6939  facclt 6940  facdivt 6942  facwordit 6944  faclbnd 6945  faclbnd6 6954  bcnp11t 6965  bcpasc2 6967  efcltlem1 7304  eirrlem3 7391  sin01bndlem1 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-fac 6932

Copyright terms: Public domain