Theorem faclbnd2 6883

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5927	. . . . . 6 |- 2 e. CC
2		expp1t 6506	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
3	1, 2	mpan 693	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
4	3	opreq1d 3960	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2 x. 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
5		sq2 6569	. . . . . 6 |- (2^2) = 4
6		2t2e4 5969	. . . . . 6 |- (2 x. 2) = 4
7	5, 6	eqtr4 1490	. . . . 5 |- (2^2) = (2 x. 2)
8	7	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((2^(N + 1)) / (2^2)) = ((2^(N + 1)) / (2 x. 2))
9	4, 8	syl5eq 1511	. . 3 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
10		expclt 6513	. . . . 5 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^N) e. CC)
11	1, 10	mpan 693	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^N) e. CC)
12	1, 1	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (2 e. CC /\ 2 e. CC)
13		2ne0 5937	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
14	13, 13	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)
15		divmuldivt 5736	. . . . . . 7 |- (((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) /\ (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
16	14, 15	mpan2 694	. . . . . 6 |- ((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
17	12, 16	mpan2 694	. . . . 5 |- (((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
18	1, 17	mpan2 694	. . . 4 |- ((2^N) e. CC -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
19	11, 18	syl 10	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
20		halfclt 5980	. . . . 5 |- ((2^N) e. CC -> ((2^N) / 2) e. CC)
21		ax1id 5254	. . . . 5 |- (((2^N) / 2) e. CC -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
22	11, 20, 21	3syl 20	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
23	1, 13	divid 5726	. . . . 5 |- (2 / 2) = 1
24	23	opreq2i 3957	. . . 4 |- (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) / 2) x. 1)
25	22, 24	syl5eq 1511	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = ((2^N) / 2))
26	9, 19, 25	3eqtr2rd 1506	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) = ((2^(N + 1)) / (2^2)))
27		2nn0 6062	. . . 4 |- 2 e. NN0
28		faclbnd 6882	. . . 4 |- ((2 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
29	27, 28	mpan 693	. . 3 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
30		4re 5929	. . . . . 6 |- 4 e. RR
31	5, 30	eqeltr 1536	. . . . 5 |- (2^2) e. RR
32		4pos 5939	. . . . . . 7 |- 0 < 4
33	32, 5	breqtrr 2630	. . . . . 6 |- 0 < (2^2)
34		ledivmult 5820	. . . . . 6 |- ((((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) /\ 0 < (2^2)) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
35	33, 34	mpan2 694	. . . . 5 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
36	31, 35	mp3an2 901	. . . 4 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
37		peano2nn0 6071	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
38		2re 5926	. . . . . 6 |- 2 e. RR
39		reexpclt 6512	. . . . . 6 |- ((2 e. RR /\ (N + 1) e. NN0) -> (2^(N + 1)) e. RR)
40	38, 39	mpan 693	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
41	37, 40	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
42		facclt 6877	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
43		nnret 5877	. . . . 5 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
45	36, 41, 44	sylanc 471	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
46	29, 45	mpbird 196	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N))
47	26, 46	eqbrtrd 2625	1 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  2c2 5908  4c4 5910  ^cexp 6500  !cfa 6868

This theorem is referenced by:  erelem3 7263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-fac 6869

Copyright terms: Public domain