Theorem f1owe 3890

Description: Well-ordering of isomorphic relations.

Hypothesis

Ref	Expression
f1owe.1	|- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}

Assertion

Ref	Expression
f1owe	|- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem f1owe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
2	1	breq1d 2619	. . . . 5 |- (x = z -> ((F` x)S(F` y) <-> (F` z)S(F` y)))
3		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
4	3	breq2d 2620	. . . . 5 |- (y = w -> ((F` z)S(F` y) <-> (F` z)S(F` w)))
5		f1owe.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}
6	2, 4, 5	brabg 2807	. . . 4 |- ((z e. A /\ w e. A) -> (zRw <-> (F` z)S(F` w)))
7	6	rgen2a 1691	. . 3 |- A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))
8		df-iso 3189	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) <-> (F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))))
9		isowe 3888	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))
10	8, 9	sylbir 201	. . 3 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))) -> (R We A <-> S We B))
11	7, 10	mpan2 694	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (R We A <-> S We B))
12	11	biimprd 154	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953  A.wral 1637   class class class wbr 2609  {copab 2656   We wwe 2906  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172   Isom wiso 3173

This theorem is referenced by:  weth 4759

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189

Copyright terms: Public domain