Theorem f1oi 3702

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1oi	|- (I |` A):A-1-1-onto->A

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o3 3679	. 2 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
2		df-fo 3186	. . 3 |- ((I |` A):A-onto->A <-> ((I |` A) Fn A /\ ran ( I |` A) = A))
3		fnresi 3589	. . 3 |- (I |` A) Fn A
4		rnresi 3402	. . 3 |- ran ( I |` A) = A
5	2, 3, 4	mpbir2an 728	. 2 |- (I |` A):A-onto->A
6		funi 3531	. . . 4 |- Fun I
7		cnvi 3433	. . . . 5 |- `'I = I
8		funeq 3521	. . . . 5 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun `'I <-> Fun I)
10	6, 9	mpbir 190	. . 3 |- Fun `'I
11		funres11 3553	. . 3 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- Fun `'(I |` A)
13	1, 5, 12	mpbir2an 728	1 |- (I |` A):A-1-1-onto->A

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953  Icid 2820  `'ccnv 3159  ran crn 3161   |` cres 3162  Fun wfun 3166   Fn wfn 3167  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171

This theorem is referenced by:  f1ovi 3703  isoid 3880  enrefg 4371  idssen 4387  ssdomg 4389  acdc2lem2 7431  acdc5lem2 7434  hoif 9597  idunop 9818  idcnop 9821  elunop2t 9853  ghomsn 10293  symggrpiOLD 10311  symgidiOLD 10312  symggrpi 10313  symgidi 10314  idhme 10409  hmphre 10417

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187

Copyright terms: Public domain