Theorem f1ocnvfv2 3864

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 3693	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = (I |` B))
2	1	fveq1d 3711	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
4		fvco3 3761	. . . 4 |- ((Fun F /\ `'F:B-->A /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
5	4	3expa 831	. . 3 |- (((Fun F /\ `'F:B-->A) /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
6		f1ofun 3676	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> Fun F)
7		f1ocnv 3686	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-1-1-onto->A)
8		f1of 3674	. . . . 5 |- (`'F:B-1-1-onto->A -> `'F:B-->A)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-->A)
10	6, 9	jca 288	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> (Fun F /\ `'F:B-->A))
11	5, 10	sylan 448	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
12		fvresi 3828	. . 3 |- (C e. B -> ((I |` B)` C) = C)
13	12	adantl 388	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((I |` B)` C) = C)
14	3, 11, 13	3eqtr3d 1507	1 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Icid 2820  `'ccnv 3159   |` cres 3162   o. ccom 3164  Fun wfun 3166  -->wf 3168  -1-1-onto->wf1o 3171  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb 3866  f1ocnvfv3 3868  isocnv 3881  uzrdgsuc 6241  effoi 8666  effoiOLD 8667  eflogt 8682  eflogtOLD 8704  cnvunopt 9758  unopadjt 9759  bracnvbrat 9959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain