Theorem f1imaen 4403

Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset.

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	|- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 3688	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))
2		f1imaen.1	. . . 4 |- C e. V
3	2	f1oen 4379	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> C ~~ (F"C))
4		f1ofo 3680	. . . 4 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
5		fornex 3664	. . . . 5 |- (C e. V -> ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V)
7		ensymg 4392	. . . 4 |- ((F"C) e. V -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
8	4, 6, 7	3syl 20	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
9	3, 8	mpd 26	. 2 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F"C) ~~ C)
10	1, 9	syl 10	1 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   |` cres 3162  "cima 3163  -1-1->wf1 3169  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  ssenen 4484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-er 4245  df-en 4351

Copyright terms: Public domain