Theorem f1dmex 3716

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 2698.

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	|- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> A e. V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 2726	. . . . 5 |- ((ran F (_ B /\ B e. C) -> ran F e. V)
2		f1f 3671	. . . . . 6 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3		frn 3639	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> ran F (_ B)
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> ran F (_ B)
5	1, 4	sylan 450	. . . 4 |- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> ran F e. V)
6	5	ex 373	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> (B e. C -> ran F e. V))
7		fornex 3685	. . . 4 |- (ran F e. V -> (`'F:ran F-onto->A -> A e. V))
8		f1f1orn 3705	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> F:A-1-1-onto->ran F)
9		f1ocnv 3707	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->ran F -> `'F:ran F-1-1-onto->A)
10		f1ofo 3701	. . . . 5 |- (`'F:ran F-1-1-onto->A -> `'F:ran F-onto->A)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> `'F:ran F-onto->A)
12	7, 11	syl5com 52	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> (ran F e. V -> A e. V))
13	6, 12	syld 27	. 2 |- (F:A-1-1->B -> (B e. C -> A e. V))
14	13	imp 350	1 |- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> A e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  Vcvv 1814   (_ wss 2050  `'ccnv 3175  ran crn 3177  -->wf 3184  -1-1->wf1 3185  -onto->wfo 3186  -1-1-onto->wf1o 3187

This theorem is referenced by:  abianfp 3968  f1dom2g 4403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203

Copyright terms: Public domain