HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expubndt 6608
Description: An upper bound on A^N when 2 <_ A.
Assertion
Ref Expression
expubndt |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Proof of Theorem expubndt
StepHypRef Expression
1 expmwordit 6606 . . 3 |- (((A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1)))) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
2 3simp1 788 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> A e. RR)
3 peano2rem 5442 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
4 2re 5979 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
5 axmulrcl 5274 . . . . . . 7 |- ((2 e. RR /\ (A - 1) e. RR) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
64, 5mpan 695 . . . . . 6 |- ((A - 1) e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
73, 6syl 10 . . . . 5 |- (A e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
873ad2ant1 800 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
9 3simp2 789 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> N e. NN0)
102, 8, 93jca 819 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0))
11 0re 5440 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 2pos 5989 . . . . . . . 8 |- 0 < 2
1311, 4, 12ltlei 5581 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
14 letrt 5525 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1511, 4, 14mp3an12 906 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1613, 15mpani 698 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (2 <_ A -> 0 <_ A))
1716imp 350 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A)
18 resubclt 5438 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 2 e. RR) -> (A - 2) e. RR)
194, 18mpan2 696 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - 2) e. RR)
20 leadd2t 5626 . . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
214, 20mp3an1 903 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2219, 21mpdan 704 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2322biimpa 416 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A))
24 recnt 5313 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
25 2cn 5980 . . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
26 npcant 5399 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A - 2) + 2) = A)
2725, 26mpan2 696 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + 2) = A)
2824, 27syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + 2) = A)
2928adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) = A)
30 ax1cn 5269 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31 subdit 5427 . . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
3225, 30, 31mp3an13 907 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
33 2timest 6004 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
3425mulid1 5332 . . . . . . . . . . 11 |- (2 x. 1) = 2
3534a1i 8 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. 1) = 2)
3633, 35opreq12d 3978 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((2 x. A) - (2 x. 1)) = ((A + A) - 2))
37 addsubt 5384 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3825, 37mp3an3 905 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3938anidms 434 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
4032, 36, 393eqtrrd 1512 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4124, 40syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4241adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4323, 29, 423brtr3d 2644 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> A <_ (2 x. (A - 1)))
4417, 43jca 288 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
45443adant2 798 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
461, 10, 45sylanc 471 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
47 mulexpt 6594 . . . . 5 |- ((2 e. CC /\ (A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
4825, 47mp3an1 903 . . . 4 |- (((A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
493recnd 5315 . . . 4 |- (A e. RR -> (A - 1) e. CC)
5048, 49sylan 448 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
51503adant3 799 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
5246, 51breqtrd 2639 1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   <_ cle 5295  NN0cn0 5297  2c2 5961  ^cexp 6568
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1 6948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569
Copyright terms: Public domain