Theorem expne0it 6529

Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero.

Assertion

Ref	Expression
expne0it	|- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ A =/= 0) -> (A^N) =/= 0)

Proof of Theorem expne0it

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expne0tOLD 6528	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (A =/= 0 <-> (A^N) =/= 0))
2	1	biimpd 153	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (A =/= 0 -> (A^N) =/= 0))
3	2	ex 373	. . . 4 |- (A e. CC -> (N e. NN -> (A =/= 0 -> (A^N) =/= 0)))
4		ax1ne0 5261	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
5		opreq2 3961	. . . . . . . . 9 |- (N = 0 -> (A^N) = (A^0))
6		exp0t 6512	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
7	5, 6	sylan9eqr 1526	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ N = 0) -> (A^N) = 1)
8	7	neeq1d 1591	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ N = 0) -> ((A^N) =/= 0 <-> 1 =/= 0))
9	4, 8	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ N = 0) -> (A^N) =/= 0)
10	9	ex 373	. . . . 5 |- (A e. CC -> (N = 0 -> (A^N) =/= 0))
11	10	a1dd 42	. . . 4 |- (A e. CC -> (N = 0 -> (A =/= 0 -> (A^N) =/= 0)))
12	3, 11	jaod 424	. . 3 |- (A e. CC -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (A =/= 0 -> (A^N) =/= 0)))
13		elnn0 6057	. . 3 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
14	12, 13	syl5ib 206	. 2 |- (A e. CC -> (N e. NN0 -> (A =/= 0 -> (A^N) =/= 0)))
15	14	3imp 826	1 |- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ A =/= 0) -> (A^N) =/= 0)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3955  CCcc 5213  0cc0 5215  1c1 5216  NNcn 5277  NN0cn0 5278  ^cexp 6509

This theorem is referenced by:  recexpt 6536  expsubt 6539  divexpt 6540  0.999... 7192  bcthlem1 7954  bcthlem21 7974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4606

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3924  df-opr 3957  df-oprab 3958  df-1st 4070  df-2nd 4071  df-1o 4124  df-oadd 4126  df-omul 4127  df-er 4252  df-ec 4254  df-qs 4257  df-en 4358  df-dom 4359  df-sdom 4360  df-ni 4981  df-pli 4982  df-mi 4983  df-lti 4984  df-plpq 5016  df-mpq 5017  df-enq 5018  df-nq 5019  df-plq 5020  df-mq 5021  df-rq 5022  df-ltq 5023  df-1q 5024  df-np 5067  df-1p 5068  df-plp 5069  df-mp 5070  df-ltp 5071  df-plpr 5145  df-mpr 5146  df-enr 5147  df-nr 5148  df-plr 5149  df-mr 5150  df-ltr 5151  df-0r 5152  df-1r 5153  df-m1r 5154  df-c 5221  df-0 5222  df-1 5223  df-i 5224  df-r 5225  df-plus 5226  df-mul 5227  df-lt 5228  df-sub 5337  df-neg 5339  df-pnf 5468  df-mnf 5469  df-xr 5470  df-ltxr 5471  df-le 5472  df-n 5882  df-n0 6056  df-z 6092  df-seq1 6254  df-exp 6510

Copyright terms: Public domain