Theorem exple1t 6607

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa between 0 and 1 inclusive is less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 29-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exple1t	|- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Proof of Theorem exple1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5440	. . . . . 6 |- 0 e. RR
2		leloet 5518	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
3	1, 2	mpan 695	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
4	3	biimpa 416	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (0 < A \/ 0 = A))
5		expge1t 6593	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((1 / A) e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ (1 / A)) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
6	5	3com23 839	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
7	6	3expa 833	. . . . . . . . . . 11 |- ((((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
8		rerecclt 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
9		3simp1 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. RR)
10		gt0ne0t 5618	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
11	10	3adant3 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A =/= 0)
12	8, 9, 11	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 / A) e. RR)
13		3simp3 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A <_ 1)
14		1re 5435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
15		lt01 5680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
16		lerec2t 5889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
17	14, 15, 16	mpanl12 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
18	17	3adant3 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
19		ax1cn 5269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
20	19	div1 5772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1 / 1) = 1
21	20	breq2i 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A <_ (1 / 1) <-> A <_ 1)
22	18, 21	syl6bb 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ 1))
23	13, 22	mpbird 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> 1 <_ (1 / A))
24	12, 23	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> ((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)))
25	7, 24	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
26		recexpt 6595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
27	26	3com23 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ A =/= 0 /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
28	27	3expa 833	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
29	9	recnd 5315	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. CC)
30	29, 11	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
31	28, 30	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
32	25, 31	breqtrd 2639	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ (1 / (A^N)))
33		lerec2t 5889	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ ((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N))) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
34	14, 15, 33	mpanl12 708	. . . . . . . . . 10 |- (((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N)) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
35		reexpclt 6580	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
36	35	3ad2antl1 809	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
37		expgt0t 6589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))
38	37	3com23 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
39	38	3expa 833	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
40	39	3adantl3 805	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
41	34, 36, 40	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
42	32, 41	mpbid 195	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ (1 / 1))
43	42, 20	syl6breq 2654	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)
44	43	ex 373	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
45	44	3expia 835	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
46		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0^N) = (A^N))
47	46	breq1d 2629	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> ((0^N) <_ 1 <-> (A^N) <_ 1))
48		elnn0 6101	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
49		0expt 6590	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN -> (0^N) = 0)
50	1, 14, 15	ltlei 5581	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
51	49, 50	syl6eqbr 2652	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> (0^N) <_ 1)
52		opreq2 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- (N = 0 -> (0^N) = (0^0))
53		0cn 5328	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
54		exp0t 6571	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 e. CC -> (0^0) = 1)
55	53, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (0^0) = 1
56	52, 55	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (0^N) = 1)
57	14	leid 5610	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 1
58	56, 57	syl6eqbr 2652	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0^N) <_ 1)
59	51, 58	jaoi 341	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (0^N) <_ 1)
60	48, 59	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (0^N) <_ 1)
61	47, 60	syl5bi 208	. . . . . . 7 |- (0 = A -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
62	61	a1d 12	. . . . . 6 |- (0 = A -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
63	62	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 = A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
64	45, 63	jaodan 426	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (0 < A \/ 0 = A)) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
65	4, 64	syldan 467	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
66	65	3impia 830	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
67	66	imp 350	1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489 &