HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expgt1t 6593
Description: Natural number exponentiation with a mantissa greater than 1 is greater than 1.
Assertion
Ref Expression
expgt1t |- ((A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A) -> 1 < (A^N))
Proof of Theorem expgt1t
StepHypRef Expression
1 opreq2 3975 . . . . . . 7 |- (x = 1 -> (A^x) = (A^1))
21breq2d 2635 . . . . . 6 |- (x = 1 -> (1 < (A^x) <-> 1 < (A^1)))
32imbi2d 614 . . . . 5 |- (x = 1 -> (((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^x)) <-> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^1))))
4 opreq2 3975 . . . . . . 7 |- (x = y -> (A^x) = (A^y))
54breq2d 2635 . . . . . 6 |- (x = y -> (1 < (A^x) <-> 1 < (A^y)))
65imbi2d 614 . . . . 5 |- (x = y -> (((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^x)) <-> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^y))))
7 opreq2 3975 . . . . . . 7 |- (x = (y + 1) -> (A^x) = (A^(y + 1)))
87breq2d 2635 . . . . . 6 |- (x = (y + 1) -> (1 < (A^x) <-> 1 < (A^(y + 1))))
98imbi2d 614 . . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^x)) <-> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^(y + 1)))))
10 opreq2 3975 . . . . . . 7 |- (x = N -> (A^x) = (A^N))
1110breq2d 2635 . . . . . 6 |- (x = N -> (1 < (A^x) <-> 1 < (A^N)))
1211imbi2d 614 . . . . 5 |- (x = N -> (((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^x)) <-> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^N))))
13 recnt 5325 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
14 exp1t 6574 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
1513, 14syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A^1) = A)
1615breq2d 2635 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 < (A^1) <-> 1 < A))
1716biimpar 419 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^1))
18 mulgt1t 5847 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A^y) e. RR /\ A e. RR) /\ (1 < (A^y) /\ 1 < A)) -> 1 < ((A^y) x. A))
19 reexpclt 6581 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> (A^y) e. RR)
20 pm3.26 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> A e. RR)
2119, 20jca 288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> ((A^y) e. RR /\ A e. RR))
2218, 21sylan 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ y e. NN0) /\ (1 < (A^y) /\ 1 < A)) -> 1 < ((A^y) x. A))
2322ex 373 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> ((1 < (A^y) /\ 1 < A) -> 1 < ((A^y) x. A)))
24 expp1t 6575 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ y e. NN0) -> (A^(y + 1)) = ((A^y) x. A))
2524, 13sylan 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> (A^(y + 1)) = ((A^y) x. A))
2625breq2d 2635 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> (1 < (A^(y + 1)) <-> 1 < ((A^y) x. A)))
2723, 26sylibrd 204 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ y e. NN0) -> ((1 < (A^y) /\ 1 < A) -> 1 < (A^(y + 1))))
28 nnnn0t 6108 . . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> y e. NN0)
2927, 28sylan2 453 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ y e. NN) -> ((1 < (A^y) /\ 1 < A) -> 1 < (A^(y + 1))))
3029exp4b 381 . . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (y e. NN -> (1 < (A^y) -> (1 < A -> 1 < (A^(y + 1))))))
3130com12 11 . . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (A e. RR -> (1 < (A^y) -> (1 < A -> 1 < (A^(y + 1))))))
3231com34 36 . . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A e. RR -> (1 < A -> (1 < (A^y) -> 1 < (A^(y + 1))))))
3332imp3a 361 . . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A e. RR /\ 1 < A) -> (1 < (A^y) -> 1 < (A^(y + 1)))))
3433a2d 13 . . . . 5 |- (y e. NN -> (((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^y)) -> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^(y + 1)))))
353, 6, 9, 12, 17, 34nnind 5939 . . . 4 |- (N e. NN -> ((A e. RR /\ 1 < A) -> 1 < (A^N)))
3635exp3a 376 . . 3 |- (N e. NN -> (A e. RR -> (1 < A -> 1 < (A^N))))
3736com12 11 . 2 |- (A e. RR -> (N e. NN -> (1 < A -> 1 < (A^N))))
38373imp 829 1 |- ((A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A) -> 1 < (A^N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  NNcn 5308  NN0cn0 5309   < clt 5498  ^cexp 6569
This theorem is referenced by:  expge1t 6594  expordit 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570
Copyright terms: Public domain