Theorem expgt0t 6589

Description: Nonnegative integer exponentiation with a positive mantissa is positive.

Assertion

Ref	Expression
expgt0t	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))

Proof of Theorem expgt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> (A^j) = (A^0))
2	1	breq2d 2630	. . . . . 6 |- (j = 0 -> (0 < (A^j) <-> 0 < (A^0)))
3	2	imbi2d 612	. . . . 5 |- (j = 0 -> (((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^j)) <-> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^0))))
4		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
5	4	breq2d 2630	. . . . . 6 |- (j = k -> (0 < (A^j) <-> 0 < (A^k)))
6	5	imbi2d 612	. . . . 5 |- (j = k -> (((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^j)) <-> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^k))))
7		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (A^j) = (A^(k + 1)))
8	7	breq2d 2630	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> (0 < (A^j) <-> 0 < (A^(k + 1))))
9	8	imbi2d 612	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> (((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^j)) <-> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^(k + 1)))))
10		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (j = N -> (A^j) = (A^N))
11	10	breq2d 2630	. . . . . 6 |- (j = N -> (0 < (A^j) <-> 0 < (A^N)))
12	11	imbi2d 612	. . . . 5 |- (j = N -> (((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^j)) <-> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))))
13		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
14		exp0t 6571	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
15	13, 14	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A^0) = 1)
16		lt01 5680	. . . . . . 7 |- 0 < 1
17	15, 16	syl5breqr 2651	. . . . . 6 |- (A e. RR -> 0 < (A^0))
18	17	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^0))
19		axmulgt0 5506	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A^k) e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < (A^k) /\ 0 < A) -> 0 < ((A^k) x. A)))
20		reexpclt 6580	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
21		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> A e. RR)
22	19, 20, 21	sylanc 471	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((0 < (A^k) /\ 0 < A) -> 0 < ((A^k) x. A)))
23		expp1t 6574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
24	23, 13	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
25	24	breq2d 2630	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (0 < (A^(k + 1)) <-> 0 < ((A^k) x. A)))
26	22, 25	sylibrd 204	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> ((0 < (A^k) /\ 0 < A) -> 0 < (A^(k + 1))))
27	26	exp4b 379	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (k e. NN0 -> (0 < (A^k) -> (0 < A -> 0 < (A^(k + 1))))))
28	27	com12 11	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (A e. RR -> (0 < (A^k) -> (0 < A -> 0 < (A^(k + 1))))))
29	28	com34 36	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (A e. RR -> (0 < A -> (0 < (A^k) -> 0 < (A^(k + 1))))))
30	29	imp3a 361	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> ((A e. RR /\ 0 < A) -> (0 < (A^k) -> 0 < (A^(k + 1)))))
31	30	a2d 13	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> (((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^k)) -> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^(k + 1)))))
32	3, 6, 9, 12, 18, 31	nn0ind 6212	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((A e. RR /\ 0 < A) -> 0 < (A^N)))
33	32	exp3a 375	. . 3 |- (N e. NN0 -> (A e. RR -> (0 < A -> 0 < (A^N))))
34	33	com12 11	. 2 |- (A e. RR -> (N e. NN0 -> (0 < A -> 0 < (A^N))))
35	34	3imp 827	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  NN0cn0 5297   < clt 5486  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  expge0t 6591  expordit 6600  expord2t 6604  exple1t 6607  expnlbndt 6655  expcnvlem2 7228  cvgratlem2ALT 7248  cvgratlem2 7251  cvgratlem5 7254  erelem3 7321  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  sin01bndlem2 7468  cos01bndlem2 7470  sin01gt0 7476  cos01gt0 7477  bcthlem8 8006  bcthlem21 8019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain