Theorem expge0t 6536

Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
expge0t	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^N))

Proof of Theorem expge0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt0t 6534	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))
2		nnnn0t 6063	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. NN0)
3	1, 2	syl3an2 859	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. NN /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))
4	3	3expia 834	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (0 < A -> 0 < (A^N)))
5		opreq1 3963	. . . . . . . . . 10 |- (0 = A -> (0^N) = (A^N))
6	5	eqeq2d 1484	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0 = (0^N) <-> 0 = (A^N)))
7		0expt 6535	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> (0^N) = 0)
8	7	eqcomd 1478	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> 0 = (0^N))
9	6, 8	syl5cbi 209	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (0 = A -> 0 = (A^N)))
10	9	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (0 = A -> 0 = (A^N)))
11	4, 10	orim12d 564	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((0 < A \/ 0 = A) -> (0 < (A^N) \/ 0 = (A^N))))
12		0re 5423	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
13		leloet 5501	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
14	12, 13	mpan 694	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
15	14	adantr 389	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
16		reexpclt 6525	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
17	16, 2	sylan2 451	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A^N) e. RR)
18		leloet 5501	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (A^N) e. RR) -> (0 <_ (A^N) <-> (0 < (A^N) \/ 0 = (A^N))))
19	12, 18	mpan 694	. . . . . . 7 |- ((A^N) e. RR -> (0 <_ (A^N) <-> (0 < (A^N) \/ 0 = (A^N))))
20	17, 19	syl 10	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (0 <_ (A^N) <-> (0 < (A^N) \/ 0 = (A^N))))
21	11, 15, 20	3imtr4d 542	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (0 <_ A -> 0 <_ (A^N)))
22	21	ex 373	. . . 4 |- (A e. RR -> (N e. NN -> (0 <_ A -> 0 <_ (A^N))))
23		opreq2 3964	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (A^N) = (A^0))
24	23	breq2d 2626	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (0 <_ (A^N) <-> 0 <_ (A^0)))
25		recnt 5296	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
26		exp0t 6516	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A^0) = 1)
28		1re 5418	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
29		lt01 5663	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
30	12, 28, 29	ltlei 5564	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
31	27, 30	syl5breqr 2647	. . . . . 6 |- (A e. RR -> 0 <_ (A^0))
32	24, 31	syl5cbir 211	. . . . 5 |- (A e. RR -> (N = 0 -> 0 <_ (A^N)))
33	32	a1dd 42	. . . 4 |- (A e. RR -> (N = 0 -> (0 <_ A -> 0 <_ (A^N))))
34	22, 33	jaod 424	. . 3 |- (A e. RR -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (0 <_ A -> 0 <_ (A^N))))
35		elnn0 6058	. . 3 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
36	34, 35	syl5ib 206	. 2 |- (A e. RR -> (N e. NN0 -> (0 <_ A -> 0 <_ (A^N))))
37	36	3imp 826	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   <_ cle 5278  NNcn 5279  NN0cn0 5280   < clt 5469  ^cexp 6513

This theorem is referenced by:  expmwordit 6551  faclbnd 6897  cvgratlem5 7206  effsumle 7355  eflegeolem1 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain