Theorem expcnvlem4 7230

Description: Lemma for expcnv 7233. Combine expcnvlem1 7227 and expcnvlem3 7229.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem.1	|- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
expcnvlem.2	|- (B e. RR /\ 0 < B)

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem4	|- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem expcnvlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem.2	. . . . . 6 |- (B e. RR /\ 0 < B)
2	1	pm3.26i 320	. . . . 5 |- B e. RR
3	1	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- 0 < B
4	2, 3	gt0ne0i 5629	. . . . 5 |- B =/= 0
5	2, 4	rereccl 5803	. . . 4 |- (1 / B) e. RR
6		1re 5447	. . . 4 |- 1 e. RR
7	5, 6	resubcl 5451	. . 3 |- ((1 / B) - 1) e. RR
8		expcnvlem.1	. . . . . 6 |- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
9	8	3simp1i 793	. . . . 5 |- A e. RR
10	8	3simp2i 794	. . . . . 6 |- 0 < A
11	9, 10	gt0ne0i 5629	. . . . 5 |- A =/= 0
12	9, 11	rereccl 5803	. . . 4 |- (1 / A) e. RR
13	12, 6	resubcl 5451	. . 3 |- ((1 / A) - 1) e. RR
14	8	3simp3i 795	. . . . . 6 |- A < 1
15		reclt1t 5900	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A < 1 <-> 1 < (1 / A)))
16	9, 10, 15	mp2an 699	. . . . . 6 |- (A < 1 <-> 1 < (1 / A))
17	14, 16	mpbi 189	. . . . 5 |- 1 < (1 / A)
18	6, 12	posdif 5677	. . . . 5 |- (1 < (1 / A) <-> 0 < ((1 / A) - 1))
19	17, 18	mpbi 189	. . . 4 |- 0 < ((1 / A) - 1)
20	13, 19	gt0ne0i 5629	. . 3 |- ((1 / A) - 1) =/= 0
21	7, 13, 20	redivcl 5800	. 2 |- (((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) e. RR
22	8, 1	expcnvlem3 7229	. 2 |- (y e. NN -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < y -> (A^y) < B))
23	21, 22	expcnvlem1 7227	1 |- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   - cmin 5304   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  ^cexp 6569

This theorem is referenced by:  expcnvlem5 7231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain