Theorem expcnvlem2 7163

Description: Lemma for expcnv 7168. Compute an upper bound for exponentiation using Bernoulli's inequality bernneq 6583.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem.1	|- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
expcnvlem.2	|- (B e. RR /\ 0 < B)
expcnvlem.3	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem2	|- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C -> (A^C) < B)

Proof of Theorem expcnvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem.2	. . . . . . 7 |- (B e. RR /\ 0 < B)
2	1	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- B e. RR
3	1	pm3.27i 324	. . . . . . 7 |- 0 < B
4	2, 3	gt0ne0i 5591	. . . . . 6 |- B =/= 0
5	2, 4	rereccl 5757	. . . . 5 |- (1 / B) e. RR
6		1re 5407	. . . . 5 |- 1 e. RR
7	5, 6	resubcl 5411	. . . 4 |- ((1 / B) - 1) e. RR
8		expcnvlem.1	. . . . . . 7 |- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
9	8	3simp1i 789	. . . . . 6 |- A e. RR
10	8	3simp2i 790	. . . . . . 7 |- 0 < A
11	9, 10	gt0ne0i 5591	. . . . . 6 |- A =/= 0
12	9, 11	rereccl 5757	. . . . 5 |- (1 / A) e. RR
13	12, 6	resubcl 5411	. . . 4 |- ((1 / A) - 1) e. RR
14		expcnvlem.3	. . . . 5 |- C e. NN
15	14	nnre 5879	. . . 4 |- C e. RR
16	8	3simp3i 791	. . . . . . 7 |- A < 1
17		reclt1t 5846	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A < 1 <-> 1 < (1 / A)))
18	9, 10, 17	mp2an 695	. . . . . . 7 |- (A < 1 <-> 1 < (1 / A))
19	16, 18	mpbi 189	. . . . . 6 |- 1 < (1 / A)
20	6, 12	posdif 5638	. . . . . 6 |- (1 < (1 / A) <-> 0 < ((1 / A) - 1))
21	19, 20	mpbi 189	. . . . 5 |- 0 < ((1 / A) - 1)
22		ltdivmult 5819	. . . . 5 |- (((((1 / B) - 1) e. RR /\ ((1 / A) - 1) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < ((1 / A) - 1)) -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C)))
23	21, 22	mpan2 694	. . . 4 |- ((((1 / B) - 1) e. RR /\ ((1 / A) - 1) e. RR /\ C e. RR) -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C)))
24	7, 13, 15, 23	mp3an 913	. . 3 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C))
25	13, 15	remulcl 5307	. . . 4 |- (((1 / A) - 1) x. C) e. RR
26	5, 6, 25	ltsubadd 5568	. . 3 |- (((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C) <-> (1 / B) < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
27	25, 6	readdcl 5306	. . . 4 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR
28	14	nngt0 5898	. . . . . 6 |- 0 < C
29	13, 15, 21, 28	mulgt0i 5582	. . . . 5 |- 0 < (((1 / A) - 1) x. C)
30		lt01 5653	. . . . 5 |- 0 < 1
31	25, 6, 29, 30	addgt0i 5575	. . . 4 |- 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)
32	6, 2, 27, 3, 31	ltdiv23i 5843	. . 3 |- ((1 / B) < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <-> (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B)
33	24, 26, 32	3bitr 177	. 2 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B)
34	14	nnnn0 6054	. . . . . 6 |- C e. NN0
35		0re 5412	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
36	9, 10	recgt0i 5770	. . . . . . 7 |- 0 < (1 / A)
37	35, 12, 36	ltlei 5554	. . . . . 6 |- 0 <_ (1 / A)
38		bernneq2 6584	. . . . . 6 |- (((1 / A) e. RR /\ C e. NN0 /\ 0 <_ (1 / A)) -> ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ ((1 / A)^C))
39	12, 34, 37, 38	mp3an 913	. . . . 5 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ ((1 / A)^C)
40	9	recn 5286	. . . . . 6 |- A e. CC
41		recexpt 6526	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ C e. NN0 /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^C) = (1 / (A^C)))
42		nnnn0t 6053	. . . . . . 7 |- (C e. NN -> C e. NN0)
43	41, 42	syl3an2 858	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ C e. NN /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^C) = (1 / (A^C)))
44	40, 14, 11, 43	mp3an 913	. . . . 5 |- ((1 / A)^C) = (1 / (A^C))
45	39, 44	breqtr 2628	. . . 4 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C))
46	27, 31	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR /\ 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
47		reexpclt 6512	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. NN0) -> (A^C) e. RR)
48	9, 34, 47	mp2an 695	. . . . . 6 |- (A^C) e. RR
49		expgt0t 6520	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^C))
50	9, 34, 10, 49	mp3an 913	. . . . . 6 |- 0 < (A^C)
51	48, 50	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((A^C) e. RR /\ 0 < (A^C))
52		lerec2t 5837	. . . . 5 |- (((((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR /\ 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) /\ ((A^C) e. RR /\ 0 < (A^C))) -> (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C)) <-> (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))))
53	46, 51, 52	mp2an 695	. . . 4 |- (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C)) <-> (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)))
54	45, 53	mpbi 189	. . 3 |- (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
55	27, 31	gt0ne0i 5591	. . . . 5 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) =/= 0
56	27, 55	rereccl 5757	. . . 4 |- (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) e. RR
57	48, 56, 2	lelttr 5560	. . 3 |- (((A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) /\ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B) -> (A^C) < B)
58	54, 57	mpan 693	. 2 |- ((1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B -> (A^C) < B)
59	33, 58	sylbi 199	1 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C -> (A^C) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  expcnvlem3 7164

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain