Theorem expcnvlem1 7170

Description: Lemma for expcnv 7176. Convert an antecedent from a comparison with a real into comparison with a natural number.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem1.1	|- A e. RR
expcnvlem1.2	|- (y e. NN -> (A < y -> ph))

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem1	|- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph)

Distinct variable groups:   ph,x   x,y,A

Proof of Theorem expcnvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem1.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		flclt 6182	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- (|_` A) e. ZZ
4		nn0absclt 6824	. . . 4 |- ((|_` A) e. ZZ -> (abs` (|_` A)) e. NN0)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- (abs` (|_` A)) e. NN0
6		nn0p1nnt 6130	. . 3 |- ((abs` (|_` A)) e. NN0 -> ((abs` (|_` A)) + 1) e. NN)
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 |- ((abs` (|_` A)) + 1) e. NN
8		nnret 5885	. . . . . 6 |- (y e. NN -> y e. RR)
9		flltp1t 6185	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A < ((|_` A) + 1))
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- A < ((|_` A) + 1)
11	3	zre 6096	. . . . . . . . . 10 |- (|_` A) e. RR
12	11	leabs 6815	. . . . . . . . 9 |- (|_` A) <_ (abs` (|_` A))
13		zcnt 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ((|_` A) e. ZZ -> (|_` A) e. CC)
14	3, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (|_` A) e. CC
15	14	abscl 6782	. . . . . . . . . 10 |- (abs` (|_` A)) e. RR
16		1re 5415	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
17	11, 15, 16	leadd1 5574	. . . . . . . . 9 |- ((|_` A) <_ (abs` (|_` A)) <-> ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1))
18	12, 17	mpbi 189	. . . . . . . 8 |- ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1)
19	11, 16	readdcl 5314	. . . . . . . . 9 |- ((|_` A) + 1) e. RR
20	15, 16	readdcl 5314	. . . . . . . . 9 |- ((abs` (|_` A)) + 1) e. RR
21	1, 19, 20	ltletr 5569	. . . . . . . 8 |- ((A < ((|_` A) + 1) /\ ((|_` A) + 1) <_ ((abs` (|_` A)) + 1)) -> A < ((abs` (|_` A)) + 1))
22	10, 18, 21	mp2an 696	. . . . . . 7 |- A < ((abs` (|_` A)) + 1)
23		ltletrt 5505	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ ((abs` (|_` A)) + 1) e. RR /\ y e. RR) -> ((A < ((abs` (|_` A)) + 1) /\ ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y) -> A < y))
24	1, 20, 23	mp3an12 904	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> ((A < ((abs` (|_` A)) + 1) /\ ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y) -> A < y))
25	22, 24	mpani 697	. . . . . 6 |- (y e. RR -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> A < y))
26	8, 25	syl 10	. . . . 5 |- (y e. NN -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> A < y))
27	26	imim1d 28	. . . 4 |- (y e. NN -> ((A < y -> ph) -> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
28	27	r19.20i 1701	. . 3 |- (A.y e. NN (A < y -> ph) -> A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph))
29		expcnvlem1.2	. . 3 |- (y e. NN -> (A < y -> ph))
30	28, 29	mprg 1697	. 2 |- A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)
31		breq1 2617	. . . . 5 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> (x <_ y <-> ((abs` (|_` A)) + 1) <_ y))
32	31	imbi1d 612	. . . 4 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> ((x <_ y -> ph) <-> (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
33	32	ralbidv 1660	. . 3 |- (x = ((abs` (|_` A)) + 1) -> (A.y e. NN (x <_ y -> ph) <-> A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)))
34	33	rcla4ev 1873	. 2 |- ((((abs` (|_` A)) + 1) e. NN /\ A.y e. NN (((abs` (|_` A)) + 1) <_ y -> ph)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph))
35	7, 30, 34	mp2an 696	1 |- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> ph)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277  ZZcz 5278   < clt 5466  |_cfl 6179  abscabs 6689

This theorem is referenced by:  expcnvlem4 7173

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain