Theorem expcllem 6576

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws.

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	|- F (_ CC
expcllem.2	|- ((x e. F /\ y e. F) -> (x x. y) e. F)
expcllem.3	|- 1 e. F

Assertion

Ref	Expression
expcllem	|- ((A e. F /\ B e. NN0) -> (A^B) e. F)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem expcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (z = 1 -> (A^z) = (A^1))
2	1	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = 1 -> ((A^z) e. F <-> (A^1) e. F))
3	2	imbi2d 614	. . . . 5 |- (z = 1 -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^1) e. F)))
4		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (z = w -> (A^z) = (A^w))
5	4	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = w -> ((A^z) e. F <-> (A^w) e. F))
6	5	imbi2d 614	. . . . 5 |- (z = w -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^w) e. F)))
7		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (z = (w + 1) -> (A^z) = (A^(w + 1)))
8	7	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> ((A^z) e. F <-> (A^(w + 1)) e. F))
9	8	imbi2d 614	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
10		opreq2 3975	. . . . . . 7 |- (z = B -> (A^z) = (A^B))
11	10	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = B -> ((A^z) e. F <-> (A^B) e. F))
12	11	imbi2d 614	. . . . 5 |- (z = B -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^B) e. F)))
13		expcllem.1	. . . . . . . . 9 |- F (_ CC
14	13	sseli 2068	. . . . . . . 8 |- (A e. F -> A e. CC)
15		exp1t 6574	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. F -> (A^1) = A)
17	16	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (A e. F -> ((A^1) e. F <-> A e. F))
18	17	ibir 595	. . . . 5 |- (A e. F -> (A^1) e. F)
19		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (A^w) -> (x x. y) = ((A^w) x. y))
20	19	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (A^w) -> ((x x. y) e. F <-> ((A^w) x. y) e. F))
21		opreq2 3975	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = A -> ((A^w) x. y) = ((A^w) x. A))
22	21	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = A -> (((A^w) x. y) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
23		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. F /\ y e. F) -> (x x. y) e. F)
24	20, 22, 23	vtocl2ga 1856	. . . . . . . . . . 11 |- (((A^w) e. F /\ A e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
25	24	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. F /\ (A^w) e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
26	25	adantlr 395	. . . . . . . . 9 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
27		expp1t 6575	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ w e. NN0) -> (A^(w + 1)) = ((A^w) x. A))
28		nnnn0t 6108	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. NN0)
29	27, 14, 28	syl2an 456	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. F /\ w e. NN) -> (A^(w + 1)) = ((A^w) x. A))
30	29	eleq1d 1543	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. F /\ w e. NN) -> ((A^(w + 1)) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
31	30	adantr 391	. . . . . . . . 9 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> ((A^(w + 1)) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
32	26, 31	mpbird 196	. . . . . . . 8 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> (A^(w + 1)) e. F)
33	32	exp31 378	. . . . . . 7 |- (A e. F -> (w e. NN -> ((A^w) e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
34	33	com12 11	. . . . . 6 |- (w e. NN -> (A e. F -> ((A^w) e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
35	34	a2d 13	. . . . 5 |- (w e. NN -> ((A e. F -> (A^w) e. F) -> (A e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
36	3, 6, 9, 12, 18, 35	nnind 5939	. . . 4 |- (B e. NN -> (A e. F -> (A^B) e. F))
37	36	impcom 351	. . 3 |- ((A e. F /\ B e. NN) -> (A^B) e. F)
38		opreq2 3975	. . . . 5 |- (B = 0 -> (A^B) = (A^0))
39		exp0t 6572	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
40	14, 39	syl 10	. . . . 5 |- (A e. F -> (A^0) = 1)
41	38, 40	sylan9eqr 1532	. . . 4 |- ((A e. F /\ B = 0) -> (A^B) = 1)
42		expcllem.3	. . . 4 |- 1 e. F
43	41, 42	syl6eqel 1559	. . 3 |- ((A e. F /\ B = 0) -> (A^B) e. F)
44	37, 43	jaodan 428	. 2 |- ((A e. F /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A^B) e. F)
45		elnn0 6103	. 2 |- (B e. NN0 <-> (B e. NN \/ B = 0))
46	44, 45	sylan2b 454	1 |- ((A e. F /\ B e. NN0) -> (A^B) e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ^cexp 6569

This theorem is referenced by:  nnexpclt 6577  nn0expclt 6578  zexpclt 6579  qexpclt 6580  reexpclt 6581  expclt 6582  rpexpclt 6583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain