Theorem exp0t 6571

Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition, 0^0 = 1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134.

Assertion

Ref	Expression
exp0t	|- (A e. CC -> (A^0) = 1)

Proof of Theorem exp0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 6113	. . 3 |- 0 e. NN0
2		expvalt 6570	. . 3 |- ((A e. CC /\ 0 e. NN0) -> (A^0) = if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)))
3	1, 2	mpan2 696	. 2 |- (A e. CC -> (A^0) = if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)))
4		eqid 1475	. . 3 |- 0 = 0
5		iftrue 2366	. . 3 |- (0 = 0 -> if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)) = 1)
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- if(0 = 0, 1, (( x. seq1 (NN X. {A}))` 0)) = 1
7	3, 6	syl6eq 1523	1 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361  {csn 2409   X. cxp 3168  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239  NNcn 5296  NN0cn0 5297   seq1 cseq1 6307  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  expp1t 6574  expcllem 6575  1expt 6584  expne0it 6588  expgt0t 6589  expge0t 6591  expge1t 6593  mulexpt 6594  recexpt 6595  expaddt 6596  expmult 6597  expmwordit 6606  exple1t 6607  bernneq 6652  cjexpt 6817  absexpt 6868  faclbnd 6945  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  faclbnd4lem3 6950  faclbnd4lem4 6951  faclbnd6 6954  binomlem1 7066  binomlem2 7067  binomlem3 7068  binomlem4 7069  binomlem6 7071  binom 7072  geoser 7234  geolim1i 7238  dfef2 7307  ef0lem 7310  efaddlem6 7343  efexpt 7372  eft0val 7398  demoivre 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-n 5925  df-n0 6100  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain