Theorem erelem6 7324

Description: Lemma for ereALT 7331.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem6	|- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem erelem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eval 7309	. 2 |- e = sum_x e. NN0 (1 / (!` x))
2		ax1cn 5269	. . . 4 |- 1 e. CC
3	2	dfef2 7307	. . 3 |- sum_x e. NN0 ((1^x) / (!` x)) = (1 + sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x))
4		1expt 6584	. . . . 5 |- (x e. NN0 -> (1^x) = 1)
5	4	opreq1d 3975	. . . 4 |- (x e. NN0 -> ((1^x) / (!` x)) = (1 / (!` x)))
6	5	sumeq2i 6988	. . 3 |- sum_x e. NN0 ((1^x) / (!` x)) = sum_x e. NN0 (1 / (!` x))
7		nnuz 6439	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
8		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (1^z) = (1^x))
9		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (!` z) = (!` x))
10	8, 9	opreq12d 3978	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((1^z) / (!` z)) = ((1^x) / (!` x)))
11		eqid 1475	. . . . . . 7 |- {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))} = {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}
12		oprex 3983	. . . . . . 7 |- ((1^x) / (!` x)) e. V
13	10, 11, 12	fvopab4 3780	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = ((1^x) / (!` x)))
14		nnnn0t 6106	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> x e. NN0)
15	14, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((1^x) / (!` x)) = (1 / (!` x)))
16	13, 15	eqtrd 1507	. . . . 5 |- (x e. NN -> ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = (1 / (!` x)))
17	7, 16	sumeq12i 6989	. . . 4 |- sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x))
18	17	opreq2i 3972	. . 3 |- (1 + sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x)) = (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)))
19	3, 6, 18	3eqtr3 1503	. 2 |- sum_x e. NN0 (1 / (!` x)) = (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)))
20		1z 6159	. . . 4 |- 1 e. ZZ
21		addex 5317	. . . . . 6 |- + e. V
22		nnex 5933	. . . . . . 7 |- NN e. V
23		erelem1.2	. . . . . . 7 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
24	22, 23	fopabex2 3612	. . . . . 6 |- G e. V
25	21, 24	seq1seqz 6541	. . . . 5 |- ( + seq1 G) = (<.1, + >. seq G)
26		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
27	26, 23	erelem4 7322	. . . . 5 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
28	25, 27	eqbrtrr 2636	. . . 4 |- (<.1, + >. seq G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
29		oprex 3983	. . . . 5 |- (1 / (!` x)) e. V
30		elnnuz 6440	. . . . . . . 8 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>` 1))
31	30	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((x e. NN /\ y = (1 / (!` x))) <-> (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x))))
32	31	opabbii 2671	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))} = {<.x, y>. | (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x)))}
33	23, 32	eqtr 1495	. . . . 5 |- G = {<.x, y>. | (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x)))}
34		ltso 5512	. . . . . 6 |- < Or RR
35	34	supex 4577	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
36	29, 33, 35	isumclim4t 7201	. . . 4 |- ((1 e. ZZ /\ (<.1, + >. seq G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) -> sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)) = sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
37	20, 28, 36	mp2an 697	. . 3 |- sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)) = sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
38	37	opreq2i 3972	. 2 |- (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x))) = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
39	1, 19, 38	3eqtr 1499	1 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  ran crn 3171  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294  NNcn 5296  NN0cn0 5297  ZZcz 5298   < clt 5486  2c2 5961   seq1 cseq1 6307  ZZ>cuz 6417   seq cseqz 6531  ^cexp 6568  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979  eceu 7294

This theorem is referenced by:  erelem7 7325  ele3lem 7326  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-e 7299

Copyright terms: Public domain