Theorem erelem2 7270

Description: Lemma for ereALT 7281.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem2	|- ( + seq1 F) ~~> 2

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem erelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5935	. . 3 |- 2 e. CC
2		ax1cn 5249	. . . 4 |- 1 e. CC
3	2	elisseti 1814	. . 3 |- 1 e. V
4		eqid 1473	. . . . 5 |- {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))} = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}
5		2re 5934	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
6		2ne0 5945	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
7	5, 6	rereccl 5765	. . . . . 6 |- (1 / 2) e. RR
8	7	recn 5294	. . . . 5 |- (1 / 2) e. CC
9		0re 5420	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
10		halfgt0 5984	. . . . . . . 8 |- 0 < (1 / 2)
11	9, 7, 10	ltlei 5562	. . . . . . 7 |- 0 <_ (1 / 2)
12	7	absid 6804	. . . . . . 7 |- (0 <_ (1 / 2) -> (abs` (1 / 2)) = (1 / 2))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (abs` (1 / 2)) = (1 / 2)
14		halflt1 5985	. . . . . 6 |- (1 / 2) < 1
15	13, 14	eqbrtr 2629	. . . . 5 |- (abs` (1 / 2)) < 1
16	4, 8, 15	geolim1i 7181	. . . 4 |- ( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}) ~~> ((1 / 2) / (1 - (1 / 2)))
17		2halvest 5994	. . . . . . . 8 |- (1 e. CC -> ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
19	2, 8, 8, 18	subaddri 5352	. . . . . 6 |- (1 - (1 / 2)) = (1 / 2)
20	19	opreq2i 3963	. . . . 5 |- ((1 / 2) / (1 - (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
21		ax1ne0 5260	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
22	2, 1, 21, 6	divne0 5701	. . . . . 6 |- (1 / 2) =/= 0
23	8, 22	divid 5734	. . . . 5 |- ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
24	20, 23	eqtr 1492	. . . 4 |- ((1 / 2) / (1 - (1 / 2))) = 1
25	16, 24	breqtr 2633	. . 3 |- ( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}) ~~> 1
26		addex 5297	. . . 4 |- + e. V
27		nnex 5889	. . . . 5 |- NN e. V
28		erelem1.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
29	27, 28	fopabex2 3604	. . . 4 |- F e. V
30	26, 29	seq1fn 6265	. . 3 |- ( + seq1 F) Fn NN
31		nnnn0t 6061	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> x e. NN0)
32		expclt 6521	. . . . . . . 8 |- (((1 / 2) e. CC /\ x e. NN0) -> ((1 / 2)^x) e. CC)
33	8, 32	mpan 694	. . . . . . 7 |- (x e. NN0 -> ((1 / 2)^x) e. CC)
34	31, 33	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((1 / 2)^x) e. CC)
35	34	rgen 1695	. . . . 5 |- A.x e. NN ((1 / 2)^x) e. CC
36	4, 35	ser1cl2 6278	. . . 4 |- (z e. NN -> (( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))})` z) e. CC)
37	4, 34	fopab 3818	. . . . 5 |- {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}:NN-->CC
38		opreq2 3960	. . . . . . . 8 |- (x = z -> ((1 / 2)^x) = ((1 / 2)^z))
39	38	opreq2d 3967	. . . . . . 7 |- (x = z -> (2 x. ((1 / 2)^x)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
40		oprex 3974	. . . . . . 7 |- (2 x. ((1 / 2)^z)) e. V
41	39, 28, 40	fvopab4 3771	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (F` z) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
42		oprex 3974	. . . . . . . 8 |- ((1 / 2)^z) e. V
43	38, 4, 42	fvopab4 3771	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> ({<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}` z) = ((1 / 2)^z))
44	43	opreq2d 3967	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2 x. ({<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}` z)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
45	41, 44	eqtr4d 1507	. . . . 5 |- (z e. NN -> (F` z) = (2 x. ({<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))}` z)))
46	1, 37, 29, 45	ser1mulc 7006	. . . 4 |- (z e. NN -> (( + seq1 F)` z) = (2 x. (( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))})` z)))
47	36, 46	jca 288	. . 3 |- (z e. NN -> ((( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))})` z) e. CC /\ (( + seq1 F)` z) = (2 x. (( + seq1 {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = ((1 / 2)^x))})` z))))
48	1, 3, 25, 30, 47	climmulc 7077	. 2 |- ( + seq1 F) ~~> (2 x. 1)
49	1	mulid1 5312	. 2 |- (2 x. 1) = 2
50	48, 49	breqtr 2633	1 |- ( + seq1 F) ~~> 2

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   class class class wbr 2614  {copab 2661  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277   < clt 5466  2c2 5916   seq1 cseq1 6252  ^cexp 6508  abscabs 6689  !cfa 6876   ~~> cli 6920

This theorem is referenced by:  erelem4 7272  ele3lem 7276  ege2le3lem2 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-seq0 6474  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain