Theorem eqrelriv 3241

Description: Inference from extensionality principle for relations.

Hypotheses

Ref	Expression
eqreli.1	|- Rel A
eqreli.2	|- Rel B
eqreli.3	|- (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	|- A = B

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqreli.1	. . 3 |- Rel A
2		eqreli.2	. . 3 |- Rel B
3		eqrel 3240	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))
4	1, 2, 3	mp2an 695	. 2 |- (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B))
5		eqreli.3	. . 3 |- (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)
6	5	ax-gen 960	. 2 |- A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)
7	4, 6	mpgbir 985	1 |- A = B

Syntax hints:   <-> wb 146  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401  Rel wrel 3165

This theorem is referenced by:  eqbrriv 3242  inopab 3258  inxp 3259  cnvopab 3431  cnv0 3432  cnvi 3433  cnvsn 3435  cnvun 3441  cnvin 3442  cnvxp 3450  co02 3494  coass 3498  sbthcl 4439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-opab 2657  df-xp 3174  df-rel 3175

Copyright terms: Public domain