Theorem eqrel 3256

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 3253	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
2		ssrel 3253	. . 3 |- (Rel B -> (B (_ A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A)))
3	1, 2	bi2anan9 634	. 2 |- ((Rel A /\ Rel B) -> ((A (_ B /\ B (_ A) <-> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) /\ A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A))))
4		eqss 2080	. 2 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
5		2albi 1110	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B) <-> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) /\ A.xA.y(<.x, y>. e. B -> <.x, y>. e. A)))
6	3, 4, 5	3bitr4g 557	1 |- ((Rel A /\ Rel B) -> (A = B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  <.cop 2415  Rel wrel 3181

This theorem is referenced by:  eqrelriv 3257  opabid2 3273  reldm0 3337  iss 3403  asymref 3445  intirr 3447  dfrel2 3491  cores 3505  coi1 3516  funssres 3558  fn0 3611  fcoi1 3651  fcoi2 3652  fcnvres 3654  fnopabfv 3764  eqfnfv 3803  fsn 3840

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191

Copyright terms: Public domain