Theorem eqneg 5760

Description: A number equal to its negative is zero.

Hypothesis

Ref	Expression
eqneg.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
eqneg	|- (A = -uA <-> A = 0)

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5407	. . . . . 6 |- 1 e. RR
2	1, 1	readdcl 5306	. . . . 5 |- (1 + 1) e. RR
3		lt01 5653	. . . . . 6 |- 0 < 1
4	1, 1, 3, 3	addgt0i 5575	. . . . 5 |- 0 < (1 + 1)
5	2, 4	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
6		df-ne 1579	. . . 4 |- ((1 + 1) =/= 0 <-> -. (1 + 1) = 0)
7	5, 6	mpbi 189	. . 3 |- -. (1 + 1) = 0
8		opreq2 3954	. . . . . 6 |- (A = -uA -> (A + A) = (A + -uA))
9		eqneg.1	. . . . . . 7 |- A e. CC
10	9	1p1times 5405	. . . . . 6 |- ((1 + 1) x. A) = (A + A)
11	9	negid 5352	. . . . . . 7 |- (A + -uA) = 0
12	11	eqcomi 1471	. . . . . 6 |- 0 = (A + -uA)
13	8, 10, 12	3eqtr4g 1523	. . . . 5 |- (A = -uA -> ((1 + 1) x. A) = 0)
14	2	recn 5286	. . . . . 6 |- (1 + 1) e. CC
15	14, 9	mul0or 5663	. . . . 5 |- (((1 + 1) x. A) = 0 <-> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
16	13, 15	sylib 198	. . . 4 |- (A = -uA -> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
17	16	ord 232	. . 3 |- (A = -uA -> (-. (1 + 1) = 0 -> A = 0))
18	7, 17	mpi 44	. 2 |- (A = -uA -> A = 0)
19		df-neg 5330	. . . 4 |- -u0 = (0 - 0)
20		0cn 5300	. . . . 5 |- 0 e. CC
21	20	subid 5363	. . . 4 |- (0 - 0) = 0
22	19, 21	eqtr2 1488	. . 3 |- 0 = -u0
23		id 59	. . 3 |- (A = 0 -> A = 0)
24		negeq 5331	. . 3 |- (A = 0 -> -uA = -u0)
25	22, 23, 24	3eqtr4a 1524	. 2 |- (A = 0 -> A = -uA)
26	18, 25	impbi 157	1 |- (A = -uA <-> A = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265

This theorem is referenced by:  eqnegt 5761  cjreb 6716  sin0ALT 7387  efif1lem5 8649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain