Theorem entrt 4420

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
entrt	|- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Proof of Theorem entrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4378	. 2 |- Rel ~~
2		visset 1816	. . 3 |- x e. V
3		visset 1816	. . 3 |- y e. V
4		visset 1816	. . 3 |- z e. V
5		ener 4416	. . 3 |- Er ~~
6	2, 3, 4, 5	ertr 4280	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
7	2	enref 4397	. 2 |- x ~~ x
8	1, 6, 7	vtoclrbr 3218	1 |- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   class class class wbr 2624   ~~ cen 4370

This theorem is referenced by:  entr 4422  en2sn 4437  sdomdomtr 4475  ensdomtr 4477  domsdomtr 4482  enen1 4483  enen2 4484  xpen 4494  ssenen 4510  phplem4 4517  php3 4521  php3OLD 4522  isfinite1 4539  isfinite1OLD 4540  ssfi 4547  ssfiOLD 4548  isfinite2OLD 4558  unfi 4563  unfiOLD 4564  pm54.43 4581  karden 4736  oncard 4839  carden 4841  unbenlem 7505  unben 7506  infxpidmlem1 7553  infxpidmlem12 7564  infcda 7568  infxp 7573  infmap2 7583  alephadd 7584  set2elt 10531  setwoe 10532  top2usne 10535  homindlem2 10536  homindlem3 10537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-er 4267  df-en 4374

Copyright terms: Public domain