Theorem entri2 4820

Description: Trichotomy of dominance and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
entri2	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B \/ B ~< A))

Proof of Theorem entri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entri 4819	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~< B \/ A ~~ B \/ B ~< A))
2		brdom2 4375	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> (A ~< B \/ A ~~ B))
3	2	orbi1i 256	. . 3 |- ((A ~<_ B \/ B ~< A) <-> ((A ~< B \/ A ~~ B) \/ B ~< A))
4		df-3or 775	. . 3 |- ((A ~< B \/ A ~~ B \/ B ~< A) <-> ((A ~< B \/ A ~~ B) \/ B ~< A))
5	3, 4	bitr4 176	. 2 |- ((A ~<_ B \/ B ~< A) <-> (A ~< B \/ A ~~ B \/ B ~< A))
6	1, 5	sylibr 200	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A ~<_ B \/ B ~< A))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 773   e. wcel 956   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355   ~< csdm 4356

This theorem is referenced by:  entri3 4821  sucdom 4822  infdif 7519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796

Copyright terms: Public domain