Theorem ensymg 4401

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
ensymg	|- (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A))

Proof of Theorem ensymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4363	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3204	. . 3 |- (A ~~ B -> A e. V)
3		breq1 2618	. . . . . 6 |- (x = A -> (x ~~ y <-> A ~~ y))
4		breq2 2619	. . . . . 6 |- (x = A -> (y ~~ x <-> y ~~ A))
5	3, 4	imbi12d 625	. . . . 5 |- (x = A -> ((x ~~ y -> y ~~ x) <-> (A ~~ y -> y ~~ A)))
6		breq2 2619	. . . . . 6 |- (y = B -> (A ~~ y <-> A ~~ B))
7		breq1 2618	. . . . . 6 |- (y = B -> (y ~~ A <-> B ~~ A))
8	6, 7	imbi12d 625	. . . . 5 |- (y = B -> ((A ~~ y -> y ~~ A) <-> (A ~~ B -> B ~~ A)))
9		visset 1810	. . . . . 6 |- x e. V
10		visset 1810	. . . . . 6 |- y e. V
11		ener 4400	. . . . . 6 |- Er ~~
12	9, 10, 11	ersym 4265	. . . . 5 |- (x ~~ y -> y ~~ x)
13	5, 8, 12	vtocl2g 1847	. . . 4 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~~ B -> B ~~ A))
14	13	ex 373	. . 3 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A)))
15	2, 14	syl 10	. 2 |- (A ~~ B -> (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A)))
16	15	pm2.43b 67	1 |- (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615   ~~ cen 4357

This theorem is referenced by:  ensym 4402  f1imaen 4412  en2sn 4421  sbthbg 4447  domnsym 4452  0sdomg 4455  sdomdomtr 4458  ensdomtr 4460  domsdomtr 4465  enen1 4466  enen2 4467  domen1 4468  domen2 4469  sdomen1 4470  sdomen2 4471  limensuci 4495  infsdomnn 4520  unfi2 4538  unifi2 4542  carden 4814  carddomi 4818  sdomsdomcard 4831  iscard2 4837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-er 4254  df-en 4360

Copyright terms: Public domain