Theorem ensym 4412

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Hypothesis

Ref	Expression
ensym.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ensym	|- (A ~~ B -> B ~~ A)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym.1	. 2 |- B e. V
2		ensymg 4411	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B -> B ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  ensymi 4413  0sdomg 4466  phplem4 4511  nneneq 4512  php 4513  php2 4514  php3 4515  php3OLD 4516  ominfOLD 4529  isfinite2OLD 4546  infcntss 4554  unifiOLD 4557  fiint 4559  fiintOLD 4560  fodomfiOLD 4566  isfiniteOLD 4634  nnsdom 4635  karden 4726  numthcor 4786  iscard2 4854  ondomcard 4857  alephordi 4874  infxpidmlem1 7552  infxpidmlem12 7563  infcda 7567  infdif 7568  infdif2 7569  infxp 7572  infmap2lem1 7579  infmap2 7581  alephsuc3 7585  set2elt 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368

Copyright terms: Public domain