Theorem enssdom 4383

Description: Equinumerosity implies dominance.

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ (_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4372	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 3688	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> f:x-1-1->y)
3	2	19.22i 1040	. . . 4 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> E.f f:x-1-1->y)
4		opabid 2810	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
5		opabid 2810	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} <-> E.f f:x-1-1->y)
6	3, 4, 5	3imtr4 219	. . 3 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} -> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
7		df-en 4368	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
8	7	eleq2i 1538	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y})
9		df-dom 4369	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
10	9	eleq2i 1538	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~<_ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
11	6, 8, 10	3imtr4 219	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ -> <.x, y>. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 3248	1 |- ~~ (_ ~<_

Syntax hints:   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  <.cop 2411  {copab 2666  -1-1->wf1 3179  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  dfdom2 4384  endom 4385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-f1o 3197  df-en 4368  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain